Mocninné řady s programem Maple - Podrobnější průvodce

Elektronická příloha rigorózní práce

Vrámci diplomové a později rigorózní práce byla vytvořena knihovna PowerSeries, která doplňuje současné možnosti programu Maple 9.5. Knihovna obsahuje tři nové procedury pro počítání s mocninnými řadami.

Knihovna PowerSeries obsahuje tyto procedury:

ConvergenceRadius

Procedura počítá poloměr konvergence mocninné řady. více...
- Povinný parametr
  - PSeries – mocninná řada, jejíž zápis předpokládáme ve tvaru , případně ve tvaru . Dovolený je i zápis ve tvaru , případně .
- Volitelný parametr
  - 1 – jedná se o první poziční parametr, jehož hodnota se uvádí v hlavičce procedury až za povinným parametrem PSeries. Parametr určuje jaké kritérium má být při výpočtu použito.
    Quo – podílové kritérium. Root – odmocninové kritérium. Pokud není parametr uveden, pracuje procedura v režimu, který automaticky zvolí vhodnější kritérium.
- Předvedení
  Na několika řešených příkladech si prezentujeme výpočetní možnosti procedury ConvergenceRadius.
ConvergenceTestOfPowerSeries

Procedura slouží nejenom k výpočtu oboru konvergence, ale dokáže i graficky znázornit chování částečných součtů mocninné řady na konvergenčním intervalu. Jednotlivé grafy částečných součtů jsou od sebe barevně odlišeny přechodem od modré po červenou barvu. Konvergenční interval je v grafu pro přehlednost znázorněn barevným pruhem. více...
- Povinný parametr
  - PSeries – mocninná řada, jejíž zápis předpokládáme ve tvaru , případně ve tvaru . Dovolený je i zápis ve tvaru , případně . V tomto případě je však automaticky doplněn na prvně uvedený tvar s implicitně nastavenou hodnotou k=10.
- Volitelné parametry
  - Output = {convergence, plot, animation} – specifikuje výstupní formu procedury. Volba convergence vrací obor konvergence a jako jediná představuje textový výstup. Zbylé hodnoty plot, resp. animation slouží ke grafickému znázornění částečných součtů řady a to buď společně, do jednoho obrázku nebo v animaci. Implicitní nastavení je output = convergence.
  - View = [x_min..x_max, y_min..y_max] – dvojice celočíselných intervalů určuje rozsah zobrazovaných hodnot v grafu na osách x a y. Ve většině zkoumaných případů nás zajímá chování částečných součtů v okolí konvergenčního intervalu, tudíž implicitně je zvoleno nastavení view = [x₀–2r..x₀+2r, –5..5], kde r je poloměr konvergence a x₀ je střed mocninné řady.
  - Step – kladná celočíselná hodnota, určuje rozdíl v indexech dvou po sobě následujících částečných součtů řady. Implicitně je roven jedné. Nastavení počátečního a koncového indexu není nutné, jejich hodnota vychází z rozsahu parametru n uvedeném při zadávní mocninné řady.
  - 1 – první poziční parametr PSsum rozšiřuje grafický výstup o zobrazení grafu součtu zadané řady. Graf součtu je definován pouze na konvergenčním intervalu, v obrázku je znázorněn tučně žlutou barvou.
- Předvedení
  Na několika řešených příkladech si prezentujeme výpočetní a vizualizační schopnosti procedury ConvergenceTestOfPowerSeries.
TaylorPolynomialAnimation

Kromě výpočtu Taylorova polynomu n-tého stupně ze zadané funkce a jeho grafického znázornění umožňuje vytvářet z těchto polynomů animace. Právě na nich se názorně předvede aproximace funkce mocninnou řadou. Bez dlouhého přemýšlení a počítání dokážeme z grafů a animací vyčíst přesnost a chyby aproximace. více...
- Povinné parametry
  - Function – výraz reprezentující funkci proměnné x.
  - Center – proměnná udávající střed Taylorova polynomu. Může nabývat hodnot dvou typů. Buď je ve tvaru rovnice x=c, kde c představuje střed nebo obsahuje celočíselnou hodnotu, kterou zapisujeme pouhým c. Obě varianty mají stejný sémantický význam.
  - N – kladná celočíselná hodnota nebo kladný celočíselný interval jejichž hodnota určuje stupeň Taylorova polynomu. Implicitní nastavení je pro textový výstup n=3 a pro grafické výstupní formy n=1..5.
- Volitelné parametry
  - Output = {polynomial, plot, animation, animations} – specifikuje výstupní formu procedury. Volba polynomial vrací Taylorovy polynomy, jejichž stupně jsou určeny parametrem n a jako jediná představuje textový výstup. Další možnosti již zahrnují mnohé varianty od zobrazení (viz plot) až po animace. Volby animation a animations se liší způsobem zobrazování animace. Animation zobrazuje spolu s původní funkcí vždy pouze jeden z Taylorových polynomů a animations Taylorovy polynomy do animace postupně přidává. Implicitní nastavení je output=polynomial.
  - View = [x_min..x_max, y_min..y_max] – dvojice celočíselných intervalů určuje rozsah zobrazovaných hodnot v grafu na osách x a y. Ve většině zkoumaných případů nás zajímá chování v okolí středu Taylorova polynomu, tudíž implicitně je zvoleno nastavení view = [center–2..center+2, –2..2].
- Předvedení
  Na několika řešených příkladech si prezentujeme výpočetní a vizualizační schopnosti procedury TaylorPolynomialAnimation.