Předchozí kapitola Zpět na obsah  

Kapitola 4

Limita a spojitost funkce

Pojem limity funkce patří k základním pojmům diferenciálního počtu. Mít limitu je lokální vlastnost funkce popisující chování funkce v ryzím okolí bodu, v němž limitu určujeme. Skutečnost, že jde o ryzí okolí (tj. okolí kromě tohoto bodu), znamená, že limita nezávisí na funkční hodnotě funkce v tomto bodě — funkční hodnota se může lišit od limity v tomto bodě, nebo funkce nemusí být v daném bodě definovaná. Spojitost funkce má lokální nebo globální charakter. Spojitost funkce v daném bodě znamená, že limita funkce v daném bodě je rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Pomocí spojitosti v bodě je definována spojitost na intervalu, případně obecně na množině. Důležité vlastnosti spojitých funkcí na intervalu jsou uvedeny v závěru této kapitoly.

4.1. Limita

Univerzální definice limity funkce je založena na pojmu okolí zavedeném v definici 1.19 a popisuje všechny případy limit.
Definice 4.1.  Nechť . Řekneme, že funkce má v bodě limitu rovnou číslu a píšeme , jestliže ke každému okolí bodu existuje okolí bodu tak, že pro všechna platí . Píšeme . Pomocí kvantifikátorů lze psát

Specifikací bodů (zda jsou z či ) dostáváme tyto speciální případy limity:
  • Vlastní limita ve vlastním bodě, je-li — viz obr. 4.1a).
  • Vlastní limita v nevlastním bodě, je-li a — viz obr. 4.1b).
  • Nevlastní limita, je- li — viz obr. 4.1c) a 4.1d).

    V případě vlastní limity ve vlastním bodě popíšeme okolí pomocí a pomocí a dostaneme následující tzv. – definici.

Definice 4.2. (– definice) Nechť . Řekneme, že , jestliže

V případě vlastní limity v nevlastním bodě popíšeme okolí pomocí a jako interval . Definici je v tomto případě následující.
Definice 4.3.  Řekneme, že , jestliže

Podobně definujeme ostatní případy nevlastních limit v nevlastních bodech (celkem dostáváme 9 speciálních případů limit).
Poznámka 4.4.  Z grafu funkcí (obr. 3.4c) a 3.9b)) je vidět, že existují limity

Naopak limita neexistuje, neboť v pravém okolí nuly jsou hodnoty funkce rovny a v levém . Z definice limity lze snadno dokázat, že Dirichletova funkce  nemá limitu v žádném bodě.
Příklad 4.5.  Z definice limity dokažte, že .
Řešení.  Buď libovolné. Potřebujeme najít tak, aby pro všechna taková, že , platilo, že , neboli , odkud vidíme, že stačí zvolit libovolné , např. .
Zobrazit / skrýt řešení
Funkce (obr. 1.3c)) nemá limitu v bodě , přestože je v levém i pravém okolí tohoto bodu dokonce konstantní. Proto zavádíme pojem jednostranné limity.
Definice 4.6.  Nechť , . Řekneme, že funkce má v bodě limitu zprava rovnu číslu a píšeme , jestliže

Podobně definujeme limitu zleva .
Např. z grafu na obr. 1.3c) je zřejmé, že platí ,

4.2. Věty o limitách

Věta 4.7.  Funkce má v libovolném bodě nejvýše jednu limitu.
Důkaz.  Důkaz provedeme sporem. Budeme předpokládat, že ,
a . Podle podle poznámky 1.20 o okolí existují , takové, že . Z definice limity plyne

Podle téže poznámky o okolí je také okolím bodu a zároveň musí platit, že pro každé je , což je evidentní spor.
Zobrazit / skrýt důkaz
Věta 4.8.  Má-li funkce v bodě vlastní limitu , pak existuje takové, že je na ohraničená.
Důkaz.  Nechť . Potřebujeme určit takové, aby pro všechna . Z definice limity existuje k číslu okolí takové, že pro všechna platí . Zvolme tudíž a , pokud existuje, a , , pokud neexistuje.
Zobrazit / skrýt důkaz
Věta 4.9.  Platí právě tehdy, když
Důkaz.  Tvrzení  je triviální. Nechť tedy a zároveň . K libovolnému existují kladná čísla tak, že pro všechna je , a tak, že pro všechna je .
Zvolíme-li , pak pro všechna je , a tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Věta 4.10. 
  1. Nechť existuje okolí takové, že pro všechna platí rovnost . Pak

  2. Nechť , . Jestliže , pak existuje takové, že pro všechna je .
    Naopak, je-li v nějakém ryzím okolí bodu , je .
Důkaz.
  1. Předpokládejme, že . Chceme dokázat, že . Nechť je dále dáno libovolné . K němu z definice limity existuje takové, že pro všechna je . Zvolme . Pak pro platí a tvrzení je dokázáno.
    1. Nejprve provedeme důkaz pro . Podle předpokladu je . Zvolme . K tomuto existují z definice limity okolí

      2. Zvolíme-li , pak pro všechna platí

      Odtud plyne

    2. Nechť nyní (pro ostatní případy, kdy , , se důkaz provede analogicky). K existuje z definice limity tak, že pro všechna je . Dále existuje takové, že pro všechna je , jelikož . Zvolme opět a vidíme, že pro všechna je , a tvrzení je dokázáno.
    3. Dokážeme druhou část tvrzení 2. Kdyby bylo , dostali bychom spor s první částí tvrzení 2.
Zobrazit / skrýt důkaz
Je-li v druhém tvrzení předchozí věty , nemusí být , jak ukazuje příklad , , . Je totiž (viz dále).
Věta 4.11.  Nechť . Jestliže pro funkci existuje okolí bodu takové, že je v něm ohraničená, pak .
Důkaz.  Důkaz provedeme z definice — k libovolnému hledáme vhodné okolí . Podle předpokladů existuje konstanta taková, že pro všechna . Protože , pro (určíme později) existuje takové, že pro všechna platí . Položme . Potom pro všechna platí, že . Vidíme, že zvolíme jako a věta je dokázána.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 4.12.  Vypočtěte  .
Řešení.  Jde o typický příklad na použití věty 4.11. I když limita neexistuje, využijeme ohraničenosti funkce a existence limity . Podle věty 4.11 platí .
Zobrazit / skrýt řešení
Věta 4.13. (Početní operace s limitami) Nechť existují obě limity , , (tj. vlastní limity). Pak platí:
  1. ,
  2. ,
  3. Je-li , pak  ,
  4. .
Důkaz.
  1. Chceme dokázat, že k libovolnému existuje okolí takové, že pro všechna platí . Nechť je dáno libovolné . K (určíme později) existují

    Položme . Pak pro všechna platí . Vidíme, že pokud zvolíme , bude tato podmínka splněna a tvrzení je dokázáno. Důkaz pro rozdíl je analogický.
  2. V tomto případě postupujeme obdobně — ke každému hledáme vhodné takové, aby pro všechny platilo . Funkce má v bodě vlastní limitu, a proto podle Věty 4.8 existuje , v němž je ohraničená, tzn. existuje takové, že pro všechna . Buď libovolné. Z existence limit obou funkcí plyne, že pro (opět určíme vhodně později) existuje takové, že pro všechna platí , a k existuje takové, že pro všechna platí . Buď nyní . Pak pro všechna je

    3. Stačí proto vhodně zvolit a a tvrzení je dokázáno.
  3. Postupujeme obdobně jako v případech 1 a 2. Funkce má v bodě vlastní limitu, proto existuje okolí , kde je ohraničená, tj. existuje takové, že pro všechna je . Dále podle definice limity k číslu existuje okolí takové, že pro všechna platí , tj.  . Nyní k  existuje takové, že pro všechna je , a k  existuje takové, že pro všechna je . Zvolme okolí jako průnik všech těchto okolí. Potom pro všechna platí

    Stačí zvolit a a tvrzení je dokázáno.
  4. K libovolnému existuje okolí tak, že pro všechna platí , tj. . Protože , je , což jsme měli dokázat.
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 4.14.  Podobně jako u posloupností platí věty vyjádřené hesly

Důkaz se provede obdobně jako ve větě 2.18. Například, , . Proto neexistuje.
V případech limit typu "", "" a "" je situace opět nejednoznačná. Jak postupovat v těchto případech, ukážeme v kapitole 5.
Následující věta plyne přímo z definice limity a má praktický význam.
Věta 4.15.  Nechť existuje ryzí okolí bodu , v němž platí . Jestliže , pak .
Věta 4.16. (Limita složené funkce) Nechť , a existuje takové, že pro všechna je . Pak .
Důkaz.  Máme ukázat, že k libovolnému okolí existuje okolí takové, že pro je .
Zvolme okolí . K němu existuje okolí takové, že pro je . Dále k okolí existuje tak, že pro všechna je . Položme . Ukážeme, že má požadovanou vlastnost. Pro je , a tedy .
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 4.17.  Předpoklad je podstatný. Například pro funkce

platí , . Přitom (je ).
S jinou variantou předchozí věty se setkáme v následujícím oddílu (věta 4.22), kde bude kladena podmínka naopak na vnější složku.
Lemma 4.18.  Nechť funkce je monotonní v nějakém ryzím pravém okolí bodu , . Pak existuje , . Obdobné tvrzení platí pro limitu zleva.
Důkaz.  Nechť je například neklesající na . Případ nerostoucí funkce se vyšetří obdobně. Označme . Z definice infima a monotonie  se snadno ověří, že .
Zobrazit / skrýt důkaz
Složitější příklady na výpočet limit, které budou ilustrovat použití předchozích vět, uvedeme až v oddílu 4.6. Chybí nám totiž zatím znalost limit elementárních funkcí, které budou sloužit jako stavební kameny složitějších příkladů. K jejich určení budou sloužit pojmy zavedené v následujících dvou oddílech.

4.3. Spojitost funkce v bodě

Pomocí pojmu limita funkce definujeme spojitost funkce v bodě.
Definice 4.19.  Buď . Řekneme, že funkce je v bodě spojitá, jestliže

Podobně definujeme i jednostranné spojitosti — funkce je v bodě spojitá zprava resp. spojitá zleva, jestliže

Poznámka 4.20.
  1. Je-li funkce spojitá v bodě (resp. spojitá zprava, zleva), znamená to, že je v tomto bodě definovaná.
  2. Protože , je vlastní. Definici spojitosti lze psát pomocí kvantifikátorů takto: je spojitá právě tehdy, když
Následující věta plyne bezprostředně z věty o početních operacích s limitami.
Věta 4.21.  Jsou-li funkce spojité v bodě , jsou také funkce , spojité v bodě . Je-li , je v spojitá i funkce .
Následující věta má velký praktický význam pro počítání limit složených funkcí.
Věta 4.22.  Nechť a funkce je spojitá v bodě . Pak platí, že .
Důkaz.  Budeme postupovat jako v důkazu věty 4.16. K libovolnému okolí musíme najít okolí takové, že pro je .
Zvolme okolí . K němu ze spojitosti  existuje okolí takové, že pro je . Dále k okolí existuje tak, že pro všechna je . Toto okolí má požadovanou vlastnost. Pro je , a tedy .
Zobrazit / skrýt důkaz
Všimněte si, že k platnosti věty o limitě složené funkce nestačí existence limit vnitřní a vnější složky — viz poznámka 4.17. Buď je třeba předpokládat, že vnitřní složka má jakousi dodatečnou vlastnost (věta 4.16), nebo je třeba předpokládat, že vnější složka je spojitá (věta 4.22).
Z předchozí věty plyne věta o spojitosti složené funkce:
Věta 4.23.  Je-li funkce spojitá v a spojitá v bodě , je funkce spojitá v .
Věta 4.24.  Následují funkce jsou spojité v každém bodě :
  1. ,
  2. ,
  3. polynom,
  4. racionální lomená funkce (v každém bodě, v kterém je definovaná),
  5. , ,
  6. , (všude, kde jsou definovány).
Důkaz.
  1. Tvrzení je zřejmé.
  2. Buď libovolné, libovolné. Položme . Pak pro libovolné platí , což znamená, že .
  3. Funkce je spojitá podle 2, dále jsou spojité podle věty 4.21, jsou spojité podle bodu 1, proto je i spojitá.
  4. Plyne bezprostředně z věty 4.21 a bodu 3.
  5. Budeme postupovat po krocích:
    1. je spojitá v bodě , neboť ze vztahu pro (tato nerovnost bude dokázána v příkladu 4.25) a z faktu, že , , plyne z věty 4.15, že . Protože sinus je lichá funkce, je pro splněno , a podobně se dokáže, že , což dohromady dává spojitost funkce sinus v nule.
    2. je spojitá v bodě , což plyne ze vztahu , z vět 4.21 a 4.22 a bodu 5(a) (spojitost odmocniny bude dokázána v důsledku 4.41).
    3. je spojitá v libovolném bodě. Vskutku, je .
    4. je spojitá v libovolném bodě (analogicky pomocí bodu 5(a)).
  6. Plyne bezprostředně z věty 4.21 a bodu 5.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 4.25.  Dokažte, že

Řešení.  K důkazu využijeme větu 4.15. Z obr. 4.2 je zřejmé, že plocha trojúhelníka je menší než plocha kruhové výseče a ta je menší než plocha trojúhelníka . Tudíž platí nerovnosti

Z nich po úpravě dostaneme, že pro je

Protože (funkce je spojitá), je podle Věty 4.15 . Funkce je sudá, a proto také , odkud již plyne tvrzení.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.26.  Dokažte, že platí

Řešení.  Vyšetříme nejprve limitu zprava. Nechť  a nechť je takové, že  . Podle definice Eulerova čísla (definice 2.27) platí (viz věta 2.26)

Odtud plyne   a zároveň  , tj.

Protože  , dostáváme  , tj.  . Podobně z nerovnosti plyne  , tj.  . Odtud pro platí nerovnost

odečteme-li číslo a podělíme-li kladným číslem , dostaneme

Limitním přechodem pro a s využitím věty 4.15 je . Podobným způsobem vyšetříme limitu zleva, odkud pak plyne tvrzení.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.27.  Dokažte, že je exponenciální funkce spojitá v každém bodě .
Řešení.  Platí

Podle příkladu 4.26 a věty 4.16 je , proto

Odtud . Pro lze psát , proto podle předchozího a věty 4.16 platí Pro je vztah zřejmý.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.28.  Buď

Určete parametr tak, aby byla funkce spojitá ve všech bodech .
Řešení.  Funkce je spojitá na intervalu i . Jediným bodem, kde by funkce nemusela být spojitá, je bod . Potřebujeme, aby , tj.

Odtud plyne a funkce je spojitá v každém bodě .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.29.  Je dána funkce

Určete konstanty tak, aby byla funkce spojitá v každém bodě .
Řešení.  Problémové body jsou a . Potřebujeme, aby

Dostáváme soustavu rovnic , , po jejímž vyřešení dostáváme výsledek a .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.30.  Uveďte příklad funkce definované na celém , která není spojitá v žádném bodě , ale jejíž absolutní hodnota je funkce spojitá v každém bodě .
Řešení.  Příkladem může být funkce podobná Dirichletově funkci. Definujme

Tato funkce evidentně není spojitá v žádném bodě, ale její absolutní hodnota je , , což je funkce spojitá v každém bodě .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.31.  Dokažte, že je funkce

spojitá v bodě .
Řešení.  Potřebujeme rozhodnout o existenci a hodnotě . Funkci můžeme odhadnout nerovnostmi . Protože , je podle věty 4.15 také a funkce je v bodě spojitá.
Zobrazit / skrýt řešení

4.4. Spojitost funkce na intervalu

Limita funkce a spojitost funkce v bodě jsou lokálními vlastnostmi, protože popisují chování funkce v okolí daného bodu. Vyšetřujeme-li chování funkce na nějaké množině (nejčastěji intervalu), mluvíme o globální vlastnosti. Globální vlastností je například periodičnost nebo sudost/lichost funkce a také následující vlastnost.
Definice 4.32.  Buď funkce, interval. Řekneme, že je spojitá na intervalu I, jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu a patří-li levý (pravý) koncový bod do , je v něm spojitá zprava (zleva). Píšeme a je-li , také .
Z věty 4.24 např. dostáváme, že polynom je spojitá funkce na , je spojitá funkce na , .
Věta 4.33. (Weierstrassova věta) Nechť . Pak je na tomto intervalu ohraničená a nabývá v něm své největší i nejmenší hodnoty.
Důkaz.  Nejprve ukážeme, že funkce je ohraničená na intervalu . Nechť není ohraničená. Pak ke každému existuje takové, že . Podle věty 2.39 lze vybrat konvergentní podposloupnost , . Z definice spojitosti a věty 4.8 vyplývá existence okolí takového, že je ohraničená na . Současně existuje takové, že pro je . Tedy nabývá v  libovolně velkých hodnot, což je spor.
Nyní ukážeme, že nabývá svých extremálních hodnot. Ukážeme to např. pro maximum; důkaz pro minimum je obdobný. Podle první části důkazu je obor hodnot shora ohraničená (a samozřejmě neprázdná) množina. Označme . Připusťme, že . Pak pro je , takže funkce je spojitá na . To ale znamená, že je shora ohraničená, tj. existuje takové, že . Odtud a číslo je horní závora , což je spor.
Zobrazit / skrýt důkaz
Geometrický význam Weierstrassovy věty je znázorněn na obr. 4.3. Je zřejmé, že bodů, v nichž funkce nabývá své největší resp. nejmenší hodnoty, může být i víc (např. funkce na dostatečně dlouhém intervalu).

Poznámka 4.34.  Následující příklady ukazují, že předpoklady ve Weierstrassově větě jsou podstatné a nejsou-li splněny, věta nemusí platit.
  1. Funkce je spojitá na intervalu , ale není zde ohraničená (interval není uzavřený).
  2. Funkce je na intervalu ohraničená, ale nenabývá zde svého suprema (v tomto případě není splněn předpoklad spojitosti).
  3. Funkce je spojitá na intervalu , ale není zde ohraničená (interval není ohraničený).
Věta 4.35. (Bolzanova věta) Nechť . Pak nabývá všech hodnot mezi svou největší a nejmenší hodnotou.
Důkaz.  Podle Weierstrassovy věty 4.33 existují taková, že , . Stačí tedy ukázat, že pro libovolná a ležící mezi a existuje tak, že .
Nechť např. a . Označme . Množina  je neprázdná, protože , a shora ohraničená číslem . Tedy existuje . Ukážeme, že .
Předpokládejme, že . Ze spojitosti funkce  v bodě  plyne, že k číslu existuje tak, že pro je . To znamená, že libovolné je horní závorou , což je spor s definicí čísla .
Předpokládejme nyní, že . Ze spojitosti funkce  v bodě  plyne, že k číslu existuje tak, že pro je . To znamená, že libovolné je prvkem . To je opět spor s definicí čísla . Musí tedy platit .
Zobrazit / skrýt důkaz
Důsledek 4.36.  Je-li a , pak existuje bod takový, že — viz obr. 4.4.

Poznámka 4.37.  Označme . Z předchozích dvou vět vyplývá, že
  • spojitá funkce zobrazuje interval na bod nebo na interval ,
  • spojitá funkce zobrazuje uzavřený ohraničený interval na bod nebo na uzavřený interval ,
  • ryze monotonní spojitá funkce zobrazuje otevřený interval na otevřený interval .
Případ, kdy funkce zobrazí interval na bod, nastane, je-li tato funkce konstantní. Není-li funkce ryze monotonní, může být obrazem otevřeného intervalu i uzavřený nebo polouzavřený interval. Např. funkce zobrazuje otevřený interval na uzavřený interval a otevřený interval na polouzavřený interval .
Příklad 4.38.  Dokažte, že rovnice má v intervalu řešení.
Řešení.  Označme si . Polynom je spojitá funkce a pro hodnoty v krajních bodech intervalu platí , a . Podle důsledku Bolzanovy věty 4.36 existuje tak, že . Proto v intervalu existuje číslo, který je řešením dané rovnice.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.39.  Dokažte, že pro obor hodnot exponenciální funkce , , , platí — viz věta 3.24, tvrzení 2.
Řešení.  Exponenciální funkce je ryze monotonní a spojitá (příklad 4.27) a je otevřený interval. Podle poznámky 4.37 je tudíž , .
Abychom ukázali, že , stačí ověřit, že funkce není shora ohraničená. Nechť např. . Položme . Pak podle Bernoulliovy nerovnosti (příklad 1.15) pro platí pro a je shora neohraničená. Díky monotonii dokonce . Odtud už snadno plyne z pravidel pro počítání s limitami, že , což dává, že .
Pro je , takže a analogicky vyjde .
Zobrazit / skrýt řešení
Věta 4.40.  Nechť je ryze monotonní a spojitá funkce na intervalu . Pak inverzní funkce je spojitá a ryze monotonní na intervalu .
Důkaz.  Z poznámky 4.37 vyplývá, že je skutečně interval. Předpokládejme pro určitost, že je rostoucí na . Podle věty 1.46 je rostoucí na . Nechť je libovolný bod, který není pravým koncovým bodem tohoto intervalu, a označme . Pak , a není pravým koncovým bodem intervalu . Nechť je libovolné, ale takové, že . Položme . Pak a protože je rostoucí, je . Označme . Pak a pro platí nerovnost . Odtud , tj. je zprava spojitá v bodě . Podobně dokážeme, že je zleva spojitá v každém bodě intervalu , který není jeho levým koncovým bodem. Proto je spojitá na intervalu .
Zobrazit / skrýt důkaz
Důsledek 4.41.  Funkce jsou spojité na , funkce , spojité na , funkce , , , je spojitá na a funkce , , je spojitá na svém definičním oboru.
Důkaz.  Kromě obecné mocniny tvrzení plyne přímo z definic příslušných funkcí, z předchozí věty a z věty 4.24 a příkladu 4.27.
Pokud jde o obecnou mocninu, pro je , takže pro tvrzení plyne ze spojitosti exponenciální a logaritmické funkce a z věty 4.23. Je-li , , je podle věty 4.16 , takže funkce je spojitá v nule zprava. Je-li definiční obor ještě širší (pak nutně ), je funkce sudá nebo lichá, z čehož plyne opět spojitost na celém definičním oboru.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 4.42.  Vyšetřete spojitost funkcí a .
Řešení. 
  1. Funkce je spojitá v každém , protože funkce je spojitá pro každé a funkce je spojitá pro každé .
  2. Funkce je spojitá v každém bodě . Nejprve upravíme její předpis: . Funkce je spojitá pro každé a funkce je spojitá pro každé .
Zobrazit / skrýt řešení
Poznámka 4.43.  Z předchozích výsledků vyplývá, že všechny tzv. elementární funkce, tj.
  • mnohočleny,
  • exponenciální a logaritmické funkce,
  • goniometrické a cyklometrické funkce,
  • obecná mocnina
a všechny funkce, které z nich vzniknou konečným počtem aritmetických operací sečítání, odčítání, násobení a dělení a skládáním, jsou spojité na svých definičních oborech. Tedy limita takové funkce v daném bodě je rovna funkční hodnotě. Tuto skutečnost budeme v dalším textu mnohokrát mlčky využívat.

4.5. Body nespojitosti

Zaměřme se nyní na situaci, kdy daná funkce není spojitá v bodě . Předpokládejme, že je definovaná na nějakém (ryzím) okolí bodu . Podle definice pak neplatí, že . Rozlišujeme následující situace, které mohou nastat:
  1. Existuje vlastní limita , ale . Bod pak nazveme bodem odstranitelné nespojitosti funkce . (Přitom připouštíme i situaci, kdy hodnota není definována.)
  2. Neexistuje vlastní limita . V tomto případě ještě rozlišujeme:
    1. Existují obě vlastní jednostranné limity a , ale . V tomto případě bod nazýváme bodem nespojitosti prvního druhu funkce .
    2. Alespoň jedna z jednostranných limit funkce v bodě neexistuje nebo je nevlastní. Pak bod nazýváme bodem nespojitosti druhého druhu funkce .
Nechť má funkce v bodě odstranitelnou nespojitost a . Pak můžeme definovat spojitou funkci takto:

Říkáme, že jsme funkci spojitě dodefinovali (případně předefinovali) v bodě . Na obr. 4.5 je znázorněn graf funkce mající čtyři body nespojitosti. V bodech a je nespojitost prvního druhu (jednostranné limity existují, ale jsou různé), v bodech a je nespojitost druhého druhu (v bodě  je limita zleva nevlastní, v bodě  limita zprava neexistuje). Uveďme několik příkladů nespojitých funkcí:
  1. Funkce má v bodě nespojitost prvního druhu, protože existují vlastní navzájem různé jednostranné limity.
  2. Dirichletova funkce má nespojitost druhého druhu v každém bodě , protože v žádném bodě neexistuje ani jedna její jednostranná limita.
  3. Funkce má v bodě nespojitost druhého druhu, protože a , tj. jedna z jednostranných limit je nevlastní.
  4. Funkce má odstranitelnou nespojitost v bodě (ukažte, že ). Jejím spojitým dodefinováním vznikne funkce , .

Příklad 4.44.  Určete definiční obor funkce , body nespojitosti a jejich druh, je-li

Řešení.  Nejprve zjistíme, kdy existuje  . Platí

Odtud plyne a funkce je rovna

Ukážeme ještě, že (sami vysvětlete, proč ). Pro je a využitím nerovnosti dostáváme , odkud plyne , proto také (srv. cvičení 10). Tedy pro .
Bodem nespojitosti je bod , neboť , , Protože existují vlastní obě jednostranné limity a jsou různé, je bod bodem nespojitosti prvního druhu. Podobně je bodem nespojitosti prvního druhu bod , neboť funkce  není v tomto bodě definovaná, a , tj. obě jednostranné limity existují a jsou vlastní. Graf je na obr. 4.6.

Zobrazit / skrýt řešení
limita , ale . Bod pak nazveme bodem odstranitelné nespojitosti funkce . (Přitom připouštíme i situaci, kdy hodnota

4.6. Řešené příklady na limity

Příklad 4.45.  Vypočtěte limity ()
Řešení.  a) Upravíme:

b) Počítejme:

c) Odstraníme odmocninu a dostáváme:

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.46.  Vypočtěte limity
Řešení.  a) Upravíme tak, abychom odstranili odmocninu ve jmenovateli

b) Budeme postupovat podobně jako v předchozích příkladech, ale uděláme ještě šikovnou úpravu, která nám zjednoduší počítání:

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.47.  Pro vypočtěte

Řešení.  Je

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.48.  Vypočtěte limity

Řešení.  a) Odstraníme odmocninu a upravíme:

b) Postupujeme podobně:

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 4.49.  Vypočtěte následující limity:

Řešení.  Použijeme věty 4.16 a 4.21 a výsledek příkladu 4.25.
  1. .
  2. .
  3. .
Funkce , a mají společnou vlastnost, že jsou v okolí bodu blízké funkci  (srv. definici 7.15).
Zobrazit / skrýt řešení
Předchozí kapitola Zpět na obsah