Kapitola 3

Elementární funkce

3.1. Polynomy

Definice 3.1.  Funkci tvaru nazýváme polynomem neboli mnohočlenem. Čísla se nazývají koeficienty polynomu. Je-li , pak číslo nazveme stupněm polynomu a značíme .

Příklad 3.2.  Příkladem jsou již ze střední školy známé polynomy: — kvadratický polynom, — lineární polynom. Je-li , jde o polynom nulového stupně. Polynom nazýváme nulovým polynomem a přiřazujeme mu jako stupeň symbol  (někdy se mu stupeň nepřiřazuje).

Definice 3.4.  Číslo se nazývá kořen polynomu , jestliže Číslo je -násobným kořenem polynomu , existuje-li polynom takový, že a není kořenem polynomu , tj. . (Pro používáme název jednoduchý kořen.) Číslo se pak nazývá násobnost kořene polynomu . Je-li kořen, pak se polynom () nazývá kořenový činitel příslušný k .

1. Je-li kořen polynomu , pak existuje polynom tak, že .
2. Základní věta algebry:
   Polynom stupně má v právě kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost.
   Všimněte si, že nulový polynom má za kořen každé číslo.
3. Rozklad polynomu v .
   Důsledkem základní věty algebry je:
   Je-li polynom a (kde ) jsou všechny jeho navzájem různé kořeny s násobnostmi , pak

   

   Tento rozklad polynomu se nazývá rozklad polynomu v nebo také rozklad polynomu na součin kořenových činitelů.
   Například je rozklad v .
4. Je-li komplexní číslo -násobným kořenem reálného polynomu , je číslo komplexně sdružené rovněž -násobným kořenem polynomu .
   Pro kořenové činitele příslušné komplexním kořenům platí

   

5. Rozklad polynomu v .
   Je-li polynom, pak podle základní věty algebry můžeme rozložit v :

   

   Jsou-li reálné kořeny s násobnostmi a , ..., navzájem různé dvojice nereálných komplexně sdružených kořenů s násobnostmi , platí

   

   Tento rozklad se nazývá rozklad polynomu v .
   Poznamenejme, že se někdy kvadratické výrazy , kde , píší ve tvaru kvadratických trojčlenů se záporným diskriminantem, neboť

   

   kde , a .
   Například, je rozklad v .
6. Znaménko polynomu — intervaly, kde je polynom kladný, resp.záporný. Z rozkladu polynomu určujeme znaménko hodnot polynomu. Je-li polynom a jsou-li všechny jeho navzájem různé reálné kořeny s lichou násobností, pak v každém z intervalů je stále nekladný nebo stále nezáporný. Vybereme-li dva sousední intervaly, pak v jednom z nich jsou hodnoty nekladné a v druhém nezáporné.
7. Jestliže polynomy mají stupně nejvýše rovny danému přirozenému číslu a jestliže existuje navzájem různých komplexních čísel tak, že , pak jsou polynomy identické, tj. mají stejné koeficienty, takže rovnost platí pro každé .

Příklad 3.5.  Rozložte v polynom . Řešení.  Můžeme postupovat dvojím způsobem: Rozkladem pomocí známých vzorců, až dostaneme lineární polynomy nebo kvadratické polynomy se záporným diskriminantem. V tomto případě pomocí vzorce pro dostaneme . Pomocí rozkladu v , kdy řešíme známým postupem binomickou rovnici . Platí Tedy  , ,  . Rozklad polynomu v je Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 3.6.  Rozložte v následující polynomy: Řešení.  a) Upravíme a použijeme vzorec : což je hledaný rozklad, protože oba kvadratické trojčleny mají záporný diskriminant . b) Potřebujeme rozložit daný mnohočlen na součin. S použitím vzorce lze postupovat např. takto: Kvadratický trojčlen má záporný diskriminant. Proto rozklad v  je Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 3.7.  Proveďte rozklad v polynomu Řešení.  Pokusíme se najít celočíselný kořen. Z algebry — viz [11] — je známo, že celočíselný kořen mnohočlenu s celočíselnými koeficienty musí být dělitelem absolutního členu. Provedeme rozklad čísla na součin prvočísel: . Kandidáty na celočíselné kořeny jsou čísla Počítejme Hornerovým schématem (viz [11]): budeme postupně zkoušet všechna tato čísla. (Kořen může být vícenásobný; v tomto případě počítáme s koeficienty nového polynomu). Kvadratický trojčlen je již dále nerozložitelný (jeho diskriminant ). Rozklad daného polynomu v je Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 3.8.  Nalezněte polynom nejnižšího stupně s reálnými koeficienty, který má kořen a dvojnásobný kořen . Řešení.  Pro polynom s reálnými koeficienty platí, že je-li komplexní číslo jeho kořenem, je i číslo k němu komplexně sdružené kořenem. V našem případě proto hledáme polynom s kořeny , a dvojnásobným kořenem . Tedy Zobrazit / skrýt řešení

3.2. Racionální funkce

Definice 3.9.  Buďte nenulové polynomy. Funkce se nazývá racionální funkce (též racionální lomená funkce). Tuto funkci dále nazveme ryze lomenou, platí-li , a neryze lomenou, platí-li .

1. Definičním oborem racionální funkce je množina tvaru , kde jsou všechny reálné kořeny polynomu .
2. Je-li neryze lomená racionální funkce, pak dělením polynomů a obdržíme součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Například:

   

3. Znaménko racionální funkce. Buď racionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají společné kořeny. Buďte všechny navzájem různé reálné kořeny čitatele a jmenovatele s lichou násobností. Pak v každém z intervalů , jsou všechny hodnoty  stále nezáporné nebo nekladné (ve všech bodech, v nichž je definovaná). V sousedních intervalech se střídají znaménka.

Příklad 3.10.  Určete všechny maximální intervaly, na kterých mají hodnoty stejné znaménko. Řešení.  Reálné kořeny čitatele s lichou násobností jsou čísla a ; reálným kořenem jmenovatele s lichou násobností je číslo . Pro je zřejmě , v dalších intervalech se znaménko funkce pravidelně střídá. Znaménko této funkce je uvedeno v následující tabulce: Zobrazit / skrýt řešení

Věta 3.11. (Věta o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky) Buď ryze lomená racionální funkce, nechť polynomy nemají společné kořeny a buď rozklad jmenovatele v . Pak existuje  reálných čísel , , takových, že pro každé , pro něž , platí

Poznámka 3.12.  Konstanty v parciálních zlomcích (lze ukázat, že jsou určeny jednoznačně) nalezneme metodou neurčitých koeficientů, tj. napíšeme formální tvar rozkladu a celou rovnost vynásobíme polynomem . Dostaneme tak rovnost dvou polynomů pro všechna kromě kořenů jmenovatele. Tyto polynomy jsou proto identické, tj. mají stejné koeficienty, které určíme pomocí dvou možných způsobů: porovnáním koeficientů u odpovídajících si mocnin, dosazením konkrétních hodnot (vhodné jsou zvláště kořeny jmenovatele ). Získáme soustavu lineárních rovnic pro neznámých konstant, kterou vyřešíme.

Příklad 3.13.  Rozložte na parciální zlomky racionální funkci Řešení.  a) Nejprve rozložíme jmenovatele Podle věty 3.11 je formální tvar parciálních zlomků Po vynásobení této rovnosti jmenovatelem dostáváme Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostáváme soustavu rovnic která má za řešení , . Rozklad funkce je b) Podle věty 3.11 je rozklad tvaru odkud Pro určení koeficientů kombinujeme obě metody. Dosazením za a dostáváme a porovnáním koeficientů u mocnin a Hledaný rozklad je Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 3.14.  Rozložte na parciální zlomky funkci Řešení.  a) Kvadratický trojčlen ve jmenovateli má diskriminant záporný, takže jej nelze rozložit v . Formální rozklad na parciální zlomky je tvaru Po vynásobení polynomem dostaneme Porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin a dostáváme soustavu která má za řešení , , , . Hledaný rozklad je b) Podle věty 3.11 platí Vynásobíme tuto rovnost polynomem ve jmenovateli a po úpravě dostáváme Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostáváme 5 rovnic pro 5 neznámých: Řešení této soustavy je  ,  , , , . Výsledný rozklad je Zobrazit / skrýt řešení

3.3. Goniometrické a cyklometrické funkce

Definice 3.15.  Buď . Nechť je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční bod je a jehož délka je ; přitom oblouk je od bodu k bodu  orientován v protisměru resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda resp. . Pak první souřadnici bodu nazýváme a druhou souřadnici . Dále definujme Funkce , , a nazýváme funkce goniometrické.

Poznámka 3.16.  Vlastnosti goniometrických funkcí. Funkce , a jsou liché, funkce je sudá. Všechny goniometrické funkce jsou periodické, a to funkce a s nejmenší periodou , funkce a s nejmenší periodou . Vztahy mezi goniometrickými funkcemi:

Definice 3.17.  Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí . Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí . Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí . Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí . Funkce , , a nazýváme cyklometrické funkce.

Věta 3.18.  Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti: Funkce a jsou rostoucí, funkce a jsou klesající. Funkce a jsou liché. Důkaz.  Tvrzení 1 je zřejmé — plyne z věty 1.46 o inverzní funkci k funkci ryze monotonní. Stačí dokázat tvrzení 2. Nechť a označme . Pak . Platí , a proto rovněž . Protože funkce je lichá, platí , a tudíž a tvrzení je dokázáno. Podobně pro . Zobrazit / skrýt důkaz

Příklad 3.19.  Dokažte, že pro každé platí a pro každé platí Řešení.  Obě tvrzení se odvodí ze vztahů mezi funkcemi goniometrickými. Nechť a označme . Podle definice a . Ze vztahu mezi a plyne přičemž Z definice funkce dostáváme , odkud Druhé tvrzení se dokáže analogicky ze vztahu . Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 3.21.  Nakreslete graf funkce . Řešení.  Zřejmě . Funkce se zavádí jako funkce inverzní k funkci , což svádí k napsání rovnosti . Toto je zásadní chyba, neboť je třeba si uvědomit, že funkci definujeme jako inverzní funkci k funkci uvažované pouze na intervalu . Proto platí pouze pro . Pro detailní rozbor funkce je dobré si povšimnout, že tato funkce je periodická s periodou (díky tomu, že má tuto vlastnost funkce ). Stačí proto uvažovat danou funkci na intervalu délky . Vyberme interval . Na intervalu , jak již bylo řečeno, je Na intervalu je neboť . Pro nakreslení grafu funkce využijeme periodičnosti, viz obr. 3.5. OBR 3.5 Zobrazit / skrýt řešení

3.4. Exponenciální a logaritmické funkce

1. Pro je (může být i ), pro je ,
2. pro , kde , je (může být i ),
3. pro , kde , , , je (pro může být i ).

Definice 3.22.  Buď , a . Pro definujme Pro položme a pro definujme .

Definice 3.23.  Buď Funkci určenou předpisem nazveme exponenciální funkcí o základu .

Věta 3.24.  Exponenciální funkce má tyto vlastnosti: a pro , pro . Funkce je rostoucí v  pro , klesající v  pro (viz obr. 3.6) a konstantní v  pro .

Definice 3.25.  Buď . Funkce inverzní k funkci se nazývá logaritmická funkce o základu , značí se .

Věta 3.26.  Logaritmická funkce má tyto vlastnosti: , . Funkce je rostoucí na pro a klesající na pro . Pro a platí Pro , a platí

3.5. Mocninná funkce

Definice 3.28.  Buď . Pro definujeme funkci a nazýváme ji mocninnou funkcí.

Věta 3.29.  Mocninná funkce má tyto vlastnosti: a pro , pro . Funkce je rostoucí na pro , klesající na pro a konstantní na pro — viz obr. 3.7. Platí pro .

Poznámka 3.30.  V některých speciálních případech lze definiční obor funkce ještě rozšířit. Je-li , je (např. , ) — viz obr. 3.8a) a 3.8c). Je-li , je (např. , — viz obr. 3.9 — nebo ). Je-li , kde  , , , je (např. , , ). Viz též dále bod 5. Funkci , kde , , chápeme jako inverzní funkci k mocnině . V případě, že  je sudé, není funkce  prostá na , ale je prostá na intervalu . Tedy pro sudé  je funkce definovaná jen pro . V případě, že  je liché, je funkce  prostá na . Tedy pro liché  je funkce definovaná pro libovolné . Funkce , kde , , je pak složenou funkcí s vnitřní složkou a s vnější složkou . Její definiční obor závisí na konkrétních číslech a . Obecně, je-li , definujeme , kde , právě když v základním tvaru čísla  (tj. , , a čísla a jsou nesoudělná) je číslo  liché. Pak klademe . Tedy , zatímco není definované, protože základní tvar zlomku je a číslo  ve jmenovateli je sudé. Tato obecná definice je ve shodě s body 1 a 2. Např. funkce je definovaná pro (viz obr. 3.8d)), kdežto funkce je definovaná jen pro (viz obr. 3.8b)). Dále si všimněme vztahu mezi funkcemi a , kde , a . Složená funkce je definovaná pro a platí pro . Složená funkce je definovaná pro a platí pro . Tedy pro je . Podobně musíme přistupovat k funkcím a , kde , a . Např. funkce pro (podle bodu 1 resp. 5), zatímco složená funkce pro , jde tedy o dvě různé funkce se stejným definičním oborem, jejichž hodnoty se shodují pouze pro . Předchozí příklady ukazují, že je nutné respektovat rozdíl mezi funkcemi a , , , chceme-li se vyhnout chybám. Např. zatímco funkce a , , jsou podle bodu 5 stejné, složené funkce a se shodují pro , avšak pro dávají různé hodnoty (funkce je lichá, kdežto funkce je sudá). Poznamenejme, že v některých učebnicích se mocnina pro záporné  a necelé  nezavádí.