Předchozí kapitola Zpět na obsah  

Kapitola 3

Elementární funkce

V této kapitole zavedeme základní elementární funkce — polynomy, racionální lomené funkce, goniometrické a cyklometrické funkce, funkce exponenciální, logaritmické a mocninné. Nejjednoduššími elementárními funkcemi jsou polynomy.

3.1. Polynomy

Definice 3.1.  Funkci tvaru

nazýváme polynomem neboli mnohočlenem. Čísla se nazývají koeficienty polynomu. Je-li , pak číslo nazveme stupněm polynomu a značíme .
Příklad 3.2.  Příkladem jsou již ze střední školy známé polynomy: — kvadratický polynom, — lineární polynom. Je-li , jde o polynom nulového stupně. Polynom nazýváme nulovým polynomem a přiřazujeme mu jako stupeň symbol  (někdy se mu stupeň nepřiřazuje).
Poznámka 3.3. 
  1. Definičním oborem polynomu je množina reálných čísel.
  2. Takto definovaný polynom (kde a ) se také nazývá reálným polynomem nad množinou . Pokud , mluvíme o reálném polynomu nad množinou . Protože v celém textu rozumíme pod pojmem funkce pouze reálné funkce reálné proměnné, pod pojmem polynom rozumíme vždy reálný polynom nad . Podrobněji o polynomech viz [11].
  3. Mezi polynomy definujeme operace sčítání (resp. odčítání) a násobení tak, že pro každé platí a . Součet (resp. rozdíl) a součin dvou polynomů je opět polynom. Platí a . Při sčítání (resp. odčítání) sčítáme (resp. odčítáme) koeficienty u stejných mocnin proměnné . Při násobení jde o obyčejné násobení -členů.
Definice 3.4.  Číslo se nazývá kořen polynomu , jestliže

Číslo je -násobným kořenem polynomu , existuje-li polynom takový, že

a není kořenem polynomu , tj. . (Pro používáme název jednoduchý kořen.) Číslo se pak nazývá násobnost kořene polynomu . Je-li kořen, pak se polynom () nazývá kořenový činitel příslušný k .
Následující tvrzení uvádíme bez důkazů. Teorie polynomů bude podrobněji probírána později v algebře, viz např. [11].
  1. Je-li kořen polynomu , pak existuje polynom tak, že .
  2. Základní věta algebry:
    Polynom stupně má v právě kořenů, počítáme-li každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost.
    Všimněte si, že nulový polynom má za kořen každé číslo.
  3. Rozklad polynomu v .
    Důsledkem základní věty algebry je:
    Je-li polynom a (kde ) jsou všechny jeho navzájem různé kořeny s násobnostmi , pak

    Tento rozklad polynomu se nazývá rozklad polynomu v nebo také rozklad polynomu na součin kořenových činitelů.
    Například je rozklad v .
  4. Je-li komplexní číslo -násobným kořenem reálného polynomu , je číslo komplexně sdružené rovněž -násobným kořenem polynomu .
    Pro kořenové činitele příslušné komplexním kořenům platí

  5. Rozklad polynomu v .
    Je-li polynom, pak podle základní věty algebry můžeme rozložit v :

    Jsou-li reálné kořeny s násobnostmi a , ..., navzájem různé dvojice nereálných komplexně sdružených kořenů s násobnostmi , platí

    Tento rozklad se nazývá rozklad polynomu v .
    Poznamenejme, že se někdy kvadratické výrazy , kde , píší ve tvaru kvadratických trojčlenů se záporným diskriminantem, neboť

    kde , a .
    Například, je rozklad v .
  6. Znaménko polynomu — intervaly, kde je polynom kladný, resp.záporný. Z rozkladu polynomu určujeme znaménko hodnot polynomu. Je-li polynom a jsou-li všechny jeho navzájem různé reálné kořeny s lichou násobností, pak v každém z intervalů je stále nekladný nebo stále nezáporný. Vybereme-li dva sousední intervaly, pak v jednom z nich jsou hodnoty nekladné a v druhém nezáporné.
  7. Jestliže polynomy mají stupně nejvýše rovny danému přirozenému číslu a jestliže existuje navzájem různých komplexních čísel tak, že , pak jsou polynomy identické, tj. mají stejné koeficienty, takže rovnost platí pro každé .
Příklad 3.5.  Rozložte v polynom .
Řešení.  Můžeme postupovat dvojím způsobem:
  1. Rozkladem pomocí známých vzorců, až dostaneme lineární polynomy nebo kvadratické polynomy se záporným diskriminantem. V tomto případě pomocí vzorce pro dostaneme .
  2. Pomocí rozkladu v , kdy řešíme známým postupem binomickou rovnici . Platí

    Tedy  , ,  .
Rozklad polynomu v je

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 3.6.  Rozložte v následující polynomy:

Řešení.  a) Upravíme a použijeme vzorec :

což je hledaný rozklad, protože oba kvadratické trojčleny mají záporný diskriminant .
b) Potřebujeme rozložit daný mnohočlen na součin. S použitím vzorce lze postupovat např. takto:

Kvadratický trojčlen má záporný diskriminant. Proto rozklad v  je

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 3.7.  Proveďte rozklad v polynomu

Řešení.  Pokusíme se najít celočíselný kořen. Z algebry — viz [11] — je známo, že celočíselný kořen mnohočlenu s celočíselnými koeficienty musí být dělitelem absolutního členu. Provedeme rozklad čísla na součin prvočísel: . Kandidáty na celočíselné kořeny jsou čísla

Počítejme Hornerovým schématem (viz [11]): budeme postupně zkoušet všechna tato čísla. (Kořen může být vícenásobný; v tomto případě počítáme s koeficienty nového polynomu).

Kvadratický trojčlen je již dále nerozložitelný (jeho diskriminant ). Rozklad daného polynomu v je

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 3.8.  Nalezněte polynom nejnižšího stupně s reálnými koeficienty, který má kořen a dvojnásobný kořen .
Řešení.  Pro polynom s reálnými koeficienty platí, že je-li komplexní číslo jeho kořenem, je i číslo k němu komplexně sdružené kořenem. V našem případě proto hledáme polynom s kořeny , a dvojnásobným kořenem . Tedy

Zobrazit / skrýt řešení

3.2. Racionální funkce

Definice 3.9.  Buďte nenulové polynomy. Funkce

se nazývá racionální funkce (též racionální lomená funkce). Tuto funkci dále nazveme ryze lomenou, platí-li , a neryze lomenou, platí-li .
Příkladem ryze lomené racionální funkce jsou funkce  ; příkladem neryze lomené racionální funkce jsou funkce  , kde , nebo  .

Platí následující tvrzení:
  1. Definičním oborem racionální funkce je množina tvaru , kde jsou všechny reálné kořeny polynomu .
  2. Je-li neryze lomená racionální funkce, pak dělením polynomů a obdržíme součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Například:

  3. Znaménko racionální funkce. Buď racionální funkce, jejíž čitatel a jmenovatel nemají společné kořeny. Buďte všechny navzájem různé reálné kořeny čitatele a jmenovatele s lichou násobností. Pak v každém z intervalů , jsou všechny hodnoty  stále nezáporné nebo nekladné (ve všech bodech, v nichž je definovaná). V sousedních intervalech se střídají znaménka.
Příklad 3.10.  Určete všechny maximální intervaly, na kterých mají hodnoty stejné znaménko.

Řešení.  Reálné kořeny čitatele s lichou násobností jsou čísla a ; reálným kořenem jmenovatele s lichou násobností je číslo . Pro je zřejmě , v dalších intervalech se znaménko funkce pravidelně střídá. Znaménko této funkce je uvedeno v následující tabulce:

Zobrazit / skrýt řešení
Následující věta má zásadní význam pro integraci racionálních funkcí. Její důkaz lze nalézt např. v [10, 14].
Věta 3.11. (Věta o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky)
Buď ryze lomená racionální funkce, nechť polynomy nemají společné kořeny a buď

rozklad jmenovatele v . Pak existuje  reálných čísel , , takových, že pro každé , pro něž , platí

Zlomky z předchozí věty nazýváme parciální zlomky. Jsou to ryze lomené racionální funkce speciálních typů.
Poznámka 3.12.  Konstanty v parciálních zlomcích (lze ukázat, že jsou určeny jednoznačně) nalezneme metodou neurčitých koeficientů, tj. napíšeme formální tvar rozkladu a celou rovnost vynásobíme polynomem . Dostaneme tak rovnost dvou polynomů pro všechna kromě kořenů jmenovatele. Tyto polynomy jsou proto identické, tj. mají stejné koeficienty, které určíme pomocí dvou možných způsobů:
  1. porovnáním koeficientů u odpovídajících si mocnin,
  2. dosazením konkrétních hodnot (vhodné jsou zvláště kořeny jmenovatele ).
Získáme soustavu lineárních rovnic pro neznámých konstant, kterou vyřešíme.
Algoritmus rozkladu racionální funkce:
Neryze lomená racionální funkce — vydělíme čitatele a jmenovatele a tím získáme polynom a ryze lomenou racionální funkci, kterou rozložíme následovně:
Ryze lomená racionální funkce — rozložíme jmenovatele v , napíšeme si formální tvar rozkladu na parciální zlomky a určíme konstanty.
Příklad 3.13.  Rozložte na parciální zlomky racionální funkci

Řešení.  a) Nejprve rozložíme jmenovatele

Podle věty 3.11 je formální tvar parciálních zlomků

Po vynásobení této rovnosti jmenovatelem dostáváme

Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostáváme soustavu rovnic

která má za řešení , . Rozklad funkce je

b) Podle věty 3.11 je rozklad tvaru

odkud

Pro určení koeficientů kombinujeme obě metody. Dosazením za a dostáváme a porovnáním koeficientů u mocnin a

Hledaný rozklad je

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 3.14.  Rozložte na parciální zlomky funkci

Řešení.  a) Kvadratický trojčlen ve jmenovateli má diskriminant záporný, takže jej nelze rozložit v . Formální rozklad na parciální zlomky je tvaru

Po vynásobení polynomem dostaneme

Porovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin a dostáváme soustavu

která má za řešení , , , . Hledaný rozklad je

b) Podle věty 3.11 platí

Vynásobíme tuto rovnost polynomem ve jmenovateli a po úpravě dostáváme

Porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin dostáváme 5 rovnic pro 5 neznámých:

Řešení této soustavy je  ,  , , , . Výsledný rozklad je

Zobrazit / skrýt řešení

3.3. Goniometrické a cyklometrické funkce

Definice 3.15.  Buď . Nechť je koncový bod oblouku na jednotkové kružnici, jehož počáteční bod je a jehož délka je ; přitom oblouk je od bodu k bodu  orientován v protisměru resp. ve směru chodu hodinových ručiček podle toho, zda resp. . Pak první souřadnici bodu nazýváme a druhou souřadnici . Dále definujme

Funkce , , a nazýváme funkce goniometrické.
Geometrický význam této definice je znázorněn na obr. 3.1, grafy goniometrických funkcí na obr. 3.2 a 3.3.

Poznámka 3.16.  Vlastnosti goniometrických funkcí.
Funkce , a jsou liché, funkce je sudá. Všechny goniometrické funkce jsou periodické, a to funkce a s nejmenší periodou , funkce a s nejmenší periodou .

Vztahy mezi goniometrickými funkcemi:

Nabízí se otázka, zda existují inverzní funkce k funkcím goniometrickým. Protože inverzní funkce existuje pouze k prosté funkci, můžeme inverzní funkce k funkcím goniometrickým definovat jenom v těch intervalech definičních oborů goniometrických funkcí, kde jsou tyto funkce ryze monotonní, a tedy prosté. Výběr intervalů se provádí takto:

Odtud plyne následující definice.
Definice 3.17.  Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí .
Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí .
Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí .
Inverzní funkce k funkci definované na intervalu se značí .
Funkce , , a nazýváme cyklometrické funkce.
Grafy jsou znázorněny na obr. 3.4.

Věta 3.18.  Cyklometrické funkce mají následující vlastnosti:
  1. Funkce a jsou rostoucí, funkce a jsou klesající.
  2. Funkce a jsou liché.
Důkaz.  Tvrzení 1 je zřejmé — plyne z věty 1.46 o inverzní funkci k funkci ryze monotonní. Stačí dokázat tvrzení 2. Nechť a označme . Pak . Platí , a proto rovněž . Protože funkce je lichá, platí , a tudíž a tvrzení je dokázáno. Podobně pro .
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 3.19.  Dokažte, že pro každé platí

a pro každé platí

Řešení.  Obě tvrzení se odvodí ze vztahů mezi funkcemi goniometrickými. Nechť a označme . Podle definice a . Ze vztahu mezi a plyne

přičemž Z definice funkce dostáváme , odkud

Druhé tvrzení se dokáže analogicky ze vztahu .
Zobrazit / skrýt řešení
Poznámka 3.20.  Vzhledem k definici inverzní funkce platí:

Mimo uvedené intervaly ale rovnosti neplatí — viz následující příklad.
Příklad 3.21.  Nakreslete graf funkce .
Řešení.  Zřejmě . Funkce se zavádí jako funkce inverzní k funkci , což svádí k napsání rovnosti . Toto je zásadní chyba, neboť je třeba si uvědomit, že funkci definujeme jako inverzní funkci k funkci uvažované pouze na intervalu . Proto platí pouze pro .
Pro detailní rozbor funkce je dobré si povšimnout, že tato funkce je periodická s periodou (díky tomu, že má tuto vlastnost funkce ). Stačí proto uvažovat danou funkci na intervalu délky . Vyberme interval . Na intervalu , jak již bylo řečeno, je

Na intervalu je

neboť . Pro nakreslení grafu funkce využijeme periodičnosti, viz obr. 3.5. OBR 3.5

Zobrazit / skrýt řešení

3.4. Exponenciální a logaritmické funkce

Zavedení těchto funkcí je poměrně obtížné, protože nelze aritmetickými operacemi zavést mocniny s iracionálním exponentem. Je možné postupovat dvěma způsoby: definovat nejprve funkci logaritmickou jako primitivní funkci k funkci  , a pak pomocí funkce k ní inverzní zavést funkci exponenciální, nebo definovat nejprve funkci exponenciální a přes inverzi funkci logaritmickou. Protože první postup vyžaduje znalosti základů integrálního počtu, z názorných důvodů zvolíme druhý postup — zavedeme nejprve funkci exponenciální.

Ze střední školy je známo, jak definujeme mocninu , kde :
  1. Pro je (může být i ), pro je ,
  2. pro , kde , je (může být i ),
  3. pro , kde , , , je (pro může být i ).
(Připomeňme, že existence odmocniny byla dokázána v lemmatu 1.14 a rovněž bylo upozorněno na korektnost definice pro racionální exponent.)

Nyní již můžeme přistoupit k definici mocniny pro libovolné kladné reálné  a libovolné reálné .
Definice 3.22.  Buď , a . Pro definujme

Pro položme a pro definujme .
Snadno se ověří, že pro je tato nová definice ve shodě s původní. Rovněž je možné dokázat pravidla pro počítání s mocninami, známá pro racionální exponenty. Zejména platí (, , )

Důkazy viz [17, str. 45], kde lze nalézt i důkazy vět 3.24 a 3.26.
Definice 3.23.  Buď Funkci určenou předpisem nazveme exponenciální funkcí o základu .
Největší význam z exponenciálních funkcí má funkce o základu (Eulerovo číslo — viz definice 2.27), tj. funkce .

Věta 3.24.  Exponenciální funkce má tyto vlastnosti:
  1. a pro , pro .
  2. Funkce je rostoucí v  pro , klesající v  pro (viz obr. 3.6) a konstantní v  pro .
Definice 3.25.  Buď . Funkce inverzní k funkci se nazývá logaritmická funkce o základu , značí se .
Z věty 3.24 vyplývá, že pro je exponenciální funkce ryze monotonní, takže inverzní funkce skutečně existuje. Grafy jsou znázorněny na obr. 3.6
Je-li , nazývá se logaritmická funkce přirozený logaritmus a značí se .
Je-li , nazývá se logaritmická funkce dekadický logaritmus a značí se .
Věta 3.26.  Logaritmická funkce má tyto vlastnosti:
  1. , .
  2. Funkce je rostoucí na pro a klesající na pro .
  3. Pro a platí

  4. Pro , a platí

Poznámka 3.27.  Z definice logaritmu a jeho vlastností uvedených ve větě 3.26 plyne:
  1. Platí

    Proto jsou grafy funkcí a souměrné podle osy .
  2. Pro platí

3.5. Mocninná funkce

Definice 3.22 nám dovoluje zavést funkci pro libovolné reálné číslo .
Definice 3.28.  Buď . Pro definujeme funkci a nazýváme ji mocninnou funkcí.
Věta 3.29.  Mocninná funkce má tyto vlastnosti:
  1. a pro , pro .
  2. Funkce je rostoucí na pro , klesající na pro a konstantní na pro — viz obr. 3.7.
  3. Platí pro .

Poznámka 3.30.  V některých speciálních případech lze definiční obor funkce ještě rozšířit.
  1. Je-li , je (např. , ) — viz obr. 3.8a) a 3.8c).
  2. Je-li , je (např. , — viz obr. 3.9 — nebo ).
  3. Je-li , kde  , , , je (např. , , ). Viz též dále bod 5.
  4. Funkci , kde , , chápeme jako inverzní funkci k mocnině .
    1. V případě, že  je sudé, není funkce  prostá na , ale je prostá na intervalu . Tedy pro sudé  je funkce definovaná jen pro .
    2. V případě, že  je liché, je funkce  prostá na . Tedy pro liché  je funkce definovaná pro libovolné .
    Funkce , kde , , je pak složenou funkcí s vnitřní složkou a s vnější složkou . Její definiční obor závisí na konkrétních číslech a .
  5. Obecně, je-li , definujeme , kde , právě když v základním tvaru čísla  (tj. , , a čísla a jsou nesoudělná) je číslo  liché. Pak klademe . Tedy , zatímco není definované, protože základní tvar zlomku je a číslo  ve jmenovateli je sudé. Tato obecná definice je ve shodě s body 1 a 2.
    Např. funkce je definovaná pro (viz obr. 3.8d)), kdežto funkce je definovaná jen pro (viz obr. 3.8b)).
  6. Dále si všimněme vztahu mezi funkcemi a , kde , a .
    1. Složená funkce je definovaná pro a platí pro .
    2. Složená funkce je definovaná pro a platí pro . Tedy pro je .
    3. Podobně musíme přistupovat k funkcím a , kde , a . Např. funkce pro (podle bodu 1 resp. 5), zatímco složená funkce pro , jde tedy o dvě různé funkce se stejným definičním oborem, jejichž hodnoty se shodují pouze pro .
    Předchozí příklady ukazují, že je nutné respektovat rozdíl mezi funkcemi a , , , chceme-li se vyhnout chybám. Např. zatímco funkce a , , jsou podle bodu 5 stejné, složené funkce a se shodují pro , avšak pro dávají různé hodnoty (funkce je lichá, kdežto funkce je sudá). Poznamenejme, že v některých učebnicích se mocnina pro záporné  a necelé  nezavádí.

Poznámka 3.31.  Při zavádění goniometrických funkcí jsme nepostupovali tak exakt\-ně, jak to matematikové od poloviny 19. století vyžadují. Kvůli rozsahu celého textu jsme také nedokazovali všechny uváděné vlastnosti elementárních funkcí. Jiné, preciznější přístupy by vyžadovaly nejprve zavést pojmy jako limita, spojitost a derivace. Nejčastějšími prostředky takových přístupů jsou mocninné řady nebo funkcionální rovnice. S různými variantami těchto pojetí je možné se seznámit např. v [15, 17, 21].
Pro první seznámení se základy diferenciálního počtu je však tento přístup příliš náročný a zdlouhavý, a proto jsme vyšli ze středoškolských znalostí a volili postup založený na jistém „přijatelném názoru” zejména pokud jde o orientovaný úhel a délku oblouku kružnice. Takový postup je ospravedlněný tím, že všechny zaváděné pojmy a o nich uváděná tvrzení lze vybudovat bez tohoto názoru.


Předchozí kapitola Zpět na obsah