Kapitola 2

Posloupnosti

Důležitým speciálním případem funkce je posloupnost, tj. funkce definovaná na množině přirozených čísel. Obsahem této kapitoly je pojem limita a obecnější pojem hromadné body posloupnosti. Pomocí limity jisté posloupnosti budeme definovat Eulerovo číslo, které je důležité pro zavedení elementárních funkcí.

2.1. Limita posloupnosti

Definice 2.1.  Posloupnost je zobrazení , jehož hodnoty obvykle místo značíme . Hodnotu  nazýváme -tý člen posloupnosti a celou posloupnost pak zapisujeme nebo , příp. .
Posloupnost je nejčastěji zadána buď výčtem členů, tj. nebo rekurentním vzorcem, např. , nebo explicitním vzorcem pro -tý člen, např.  .
Poznámka 2.2.  Posloupnost se nazývá
rostoucí, jestliže     pro každé ; klesající, jestliže     pro každé ; nerostoucí, jestliže     pro každé ; neklesající, jestliže     pro každé ; shora ohraničená, jestliže existuje takové, že pro každé ; zdola ohraničená, jestliže existuje takové, že pro každé ; ohraničená , jestliže je ohraničená shora a i zdola.
Poznamenejme, že takto definované pojmy jsou ve shodě s definicemi 1.29 a 1.35 pro funkce s obecnou množinou .
Definice 2.3.  Nechť je dána posloupnost a číslo . Řekneme, že posloupnost má limitu , jestliže ke každému existuje takové, že pro každé platí, že . Pomocí kvantifikátorů lze psát:

Pokud má posloupnost limitu, říkáme, že konverguje, a značíme , případně pro . Řekneme, že posloupnost má limitu , jestliže jestliže ke každému existuje takové, že pro každé platí, že . Značíme a pomocí kvantifikátorů zapisujeme

Podobně definujeme . Pokud má posloupnost limitu nebo , říkáme, že posloupnost diverguje. Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje.
Místo termínu posloupnost konverguje resp. diverguje říkáme též, že posloupnost má vlastní limitu resp. nevlastní limitu.

Poznámka 2.4.  Platí právě tehdy, když .
Věta 2.5.  Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu.
Důkaz.  Větu dokážeme sporem. Nechť je posloupnost a předpokládejme, že , , a . Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že (pro postupujeme analogicky). Zvolme . Podle definice limity existují

takové, že platí ,
takové, že platí .

Pro platí, že a současně , což je spor, protože tyto intervaly jsou disjunktní (tj. jejich průnik je prázdná množina). Obdobně se vyšetří případy resp. .

Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 2.6.  Dokažte z definice, že

a)                    b)

Řešení. 
  1. Nechť je dáno libovolné . Hledáme takové, aby pro všechna platilo . Platí

    Zvolíme . Pak pro platí . Tvrzení je dokázáno.
  2. Nechť je dáno libovolné . Hledáme takové, aby pro všechna bylo . Vidíme, že zvolíme-li , pak . Tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt řešení
Věta 2.7.  Každá konvergentní posloupnost je ohraničená.
Důkaz.  K důkazu ohraničenosti posloupnost je třeba najít tak, aby platilo pro všechna . Označme a zvolme . Podle definice limity k tomuto existuje takové, že pro všechna platí . Potom

Pokud platí , zvolíme . V opačném případě označme a zvolme . Pro takto zvolené platí pro každé , což jsme měli dokázat.
Zobrazit / skrýt důkaz

2.2. Věty o limitách

Věta 2.8.  Nechť a posloupnost je ohraničená. Pak .
Důkaz.  Chceme dokázat, že ke každému existuje takové, že pro všechna je , tj. .
Podle předpokladů existuje tak, že pro všechna je . Dále k nějakému (které určíme později) existuje tak, že pro každé je . Nechť tedy a . Vidíme, že pro je

a tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 2.9.  Vypočtěte  .
Řešení.  Posloupnost je ohraničená: pro všechna . Dále . Tedy podle předchozí věty je

Zobrazit / skrýt řešení
Věta 2.10.  Nechť jsou dány posloupnosti a existuje tak, že pro každé je . Pak platí:
  1. Jestliže , pak i .
  2. Jestliže , pak i .
Důkaz.  Důkaz provedeme pouze pro tvrzení 1 (druhé se dokáže analogicky). Nechť tedy . Z definice limity k libovolnému existuje tak, že pro všechna je . Navíc dle předpokladu existuje tak, že pro všechna je . Zvolme a vidíme, že pro všechna je a tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 2.11.  Určete  .
Řešení.  Upravíme tvar členů posloupnosti:

Protože , je podle předchozí věty také

Zobrazit / skrýt řešení
Věta 2.12.  Nechť jsou dány konvergentní posloupnosti a , . Pak platí:
  1. Jestliže , pak existuje tak, že pro všechna platí .
  2. Jestliže existuje tak, že pro všechna je , pak .
Důkaz.  První tvrzení plyne snadno z definice limity. Druhé tvrzení plyne z prvního: Kdyby bylo , pak by pro velká  platilo , což je spor.
Zobrazit / skrýt důkaz
I když bude v druhém tvrzení předchozí věty platit , může být , jak ukazuje příklad posloupností , , kdy .
Věta 2.13.  Nechť jsou dány posloupnosti a a číslo  takové, že pro všechna , a . Pak také .
Důkaz.  Z definice limity k libovolnému existují

Zvolíme-li , pak pro všechna platí

tj. . Tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 2.14.  Určete  .
Řešení.  Pro každé platí . Odtud máme  ,  přičemž a . Podle předchozí věty

Zobrazit / skrýt řešení
Věta 2.15.  Nechť a , kde . Pak platí:
  1. .
  2. .
  3. .
  4. Pokud , pak  .
Důkaz. 
  1. Podle předpokladu platí

    Z vlastností absolutní hodnoty plyne: a tvrzení je dokázáno.
  2. Chceme ukázat, že ke každému existuje takové, že pro všechna je . Dle předpokladů existuje pro nějaké (určíme je později)

    Zvolme a . Vidíme, že pro všechna je :

    a tvrzení je dokázáno.
  3. Postupujeme obdobně jako v případě 2, opět k nějakému najdeme požadovaných vlastností. Dále podle věty 2.7 existuje tak, že pro všechna . Upravujme:

    Vidíme, že když zvolíme  , je tvrzení dokázáno.
  4. Protože , stačí dokázat, že , zbytek plyne z předchozího tvrzení. Nejprve provedeme úpravu

    Podle tvrzení 1 platí a podle věty 2.12 existuje tak, že pro všechna je . Obdobně jako v předchozích tvrzeních existuje k nějakému index tak, že pro všechna je . Zvolme . Pak pro všechna platí

    Stačí tedy zvolit a tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 2.16. 
  1. Bez předpokladu existence obou limit posloupností nejsou úpravy

    ekvivalentní. Např. , ale neexistuje. Podobně . Také úprava není ekvivalentní pro .
  2. Předchozí věta platí i pro , má-li pravá strana příslušného vzorce smysl, tj. je-li dotyčná algebraická operace pro hodnoty definovaná - viz poznámka 1.17.
Příklad 2.17.  Určete  .
Řešení.  Podle Věty 2.15 platí

Zobrazit / skrýt řešení
Věta 2.18.  Nechť je dána posloupnost .
  1. Jestliže , pak     (heslo ).
  2. Jestliže a existuje takové, že pro všechna je , pak (heslo ). Analogicky platí tvrzení vystižené heslem .
Důkaz. 
  1. Buď . Chceme ukázat, že existuje takové, že pro všechna je . Z existence limity plyne, že k číslu existuje tak, že všechna platí . Pak pro platí a tvrzení je dokázáno.
  2. Buď . Chceme dokázat, že existuje takové, že pro všechna je . Podle předpokladu platí . Proto k číslu existuje takové, že pro všechna je . Zvolme . Pak pro je , odkud . Tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 2.19.  V případě limit typu „”,, limita může existovat, ale nemusí.
V případě typu mohou nastat tři případy: limita je , nebo limita neexistuje. Jako ilustraci uveďme

Věta 2.20.  Každá neklesající shora ohraničená posloupnost má vlastní limitu. Přitom platí .
Podobně každá nerostoucí zdola ohraničená posloupnost má vlastní limitu a platí .
Důkaz.  Dokážeme pouze první tvrzení, důkaz druhého se provede analogicky. Nechť je neklesající posloupnost shora ohraničená. Podle axiomu R13 má každá neprázdná shora ohraničená množina supremum. Označíme tudíž , , a dokážeme, že .
Z druhé vlastnosti suprema plyne, že pro každé existuje takové, že . Posloupnost je neklesající, proto pro každé je . Odtud , neboli . Tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 2.21.  Vypočtete limitu

Řešení.  Nejprve si uvědomíme, že platí (ověřte sami). Potom

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 2.22.  Vypočtete

Řešení.  Podle vzorce pro součet členů aritmetické posloupnosti je

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 2.23.  Vypočtěte .
Řešení.  Máme

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 2.24.  Vypočtěte

Řešení.  Vytkneme z každé odmocniny člen v nejvyšší mocnině

Zkrátíme zlomek výrazem a dostaneme

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 2.25.  Vypočtěte .
Řešení.  Postupujeme obdobně jako v příkladě 2.23:

Zobrazit / skrýt řešení

2.3. Eulerovo číslo

Věta 2.26.  Posloupnost , kde , je rostoucí a shora ohraničená, posloupnost , kde , je klesající a zdola ohraničená, jsou tedy obě konvergentní. Mají tutéž limitu.
Důkaz.  Ukážeme nejprve, že posloupnost je rostoucí a je klesající. Pro je podle Bernoulliovy nerovnosti (viz příklad 1.15)

takže pro každé . Podobně

tedy pro každé .
Protože pro všechna , platí pro . Posloupnost je tedy shora ohraničená a posloupnost je zdola ohraničená. Podle věty 2.20 mají obě limitu. Konečně .
Zobrazit / skrýt důkaz
Společná limita obou posloupností z předchozího příkladu má velký význam.
Definice 2.27.  Limitu nazýváme Eulerovo číslo.
Poznámka 2.28.  O číslu lze dokázat, že je iracionální --- viz např. [7, str. 81], [17, str. 181] nebo [21, str. 89]; rovněž číslo je iracionální --- viz [15, str. 183].
Číslo se nazývá algebraické, je-li kořenem nějakého nenulového polynomu s celočíselnými koeficienty. Mezi tato čísla patří všechna racionální čísla. Příkladem iracionálních algebraických čísel je třeba , a pod. Zbývající reálná čísla se nazývají transcendentní. Číslo je transcendentní --- viz [8, str. 147]. Také číslo  je transcendentní --- viz [18, str. 205]. Srovnejte též příklad D43 dodatku.
Příklad 2.29.  Vypočtěte

Řešení.  Využijeme znalost limity posloupnosti . Upravíme

Označíme a dostáváme

(Využili jsme toho, že odmocnina je spojitá funkce, platí tedy , jak uvidíme dále ve větě 4.22.)
Zobrazit / skrýt řešení

2.4. Hromadné body posloupnosti

Definice 2.30.  Nechť je posloupnost a nechť je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost se nazývá vybraná posloupnost (podposloupnost) z posloupnosti .
Příklad 2.31.  Najděte všechny konvergentní podposloupnosti posloupnosti .
Řešení.  Posloupnost má vybrané konvergentní posloupnosti

mající limity resp. . Každá jiná vybraná posloupnost bude konvergentní, jen když bude od jistého členu konstantní. To ukážeme následovně.
K číslu lze najít takové, že pro je , kde je limita této posloupnosti. Pak pro je . Protože , musí být pro buď pořád nebo pořád .
Zobrazit / skrýt řešení
Věta 2.32.  Nechť je vybraná posloupnost z posloupnosti a . Potom .
Důkaz.  Tvrzení dokážeme přímo z definice limity. Nechť je dáno libovolné . Pak podle předpokladu existuje takové, že pro všechna je . Posloupnost je rostoucí posloupnost přirozených čísel, proto můžeme zvolit tak, že . Pak pro všechna je , a proto platí . Tvrzení je dokázáno.
Zobrazit / skrýt důkaz
Předchozí věta se někdy užívá pro důkaz neexistence limity dané posloupnosti. Ukažme si to na jednoduché posloupnosti z příkladu 2.31. Kdyby existovala limita , pak by toto číslo bylo limitou i každé vybrané posloupnosti, a proto by muselo platit, že

což je evidentní spor, a tedy daná posloupnost nemá limitu.

Pro posloupnosti, které nejsou konvergentní, je důležitý pojem hromadného bodu zobecňující pojem limity posloupnosti.
Definice 2.33.  Číslo se nazývá hromadný bod posloupnosti , jestliže pro každé okolí existuje nekonečně mnoho indexů , pro které platí, že .
Věta 2.34.  Číslo je hromadným bodem posloupnosti právě tehdy, když existuje vybraná podposloupnost taková, že .
Důkaz.  Tvrzení snadno plyne přímo z definice hromadného bodu a vybrané posloupnosti.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 2.35.  Najděte všechny hromadné body posloupnosti  .
Řešení.  Budeme postupovat pomocí předchozí věty --- vyšetříme všechny vybrané podposloupnosti. Nechť . Pro dostáváme

Položme . Pak a číslo je hromadným bodem posloupnosti . Obdobně pro , kde , dostáváme

a pro , kde , dostáváme

Analogicky jako v příkladu 2.31 se ukáže, že další podposloupnosti jsou konvergentní, jen když jsou od jistého indexu konstantní. Posloupnost má tudíž celkem tři hromadné body a .
Zobrazit / skrýt řešení
Lemma 2.36.  Každá posloupnost má nejmenší a největší hromadný bod.
Důkaz.  Důkaz tohoto intuitivně zřejmého tvrzení je následující. Nechť je posloupnost ohraničená. Definujme dvě pomocné posloupnosti a následovně: a , . Zřejmě platí . Dále posloupnost je nerostoucí a posloupnost je neklesající. Obě jsou ohraničené. Podle věty 2.20 existují tedy a , přičemž podle věty podle 2.12, 2.
Ukážeme, že a jsou hromadné body posloupnosti . Ověříme to např. pro . Z definice suprema plyne, že ke každému existuje index  takový, že platí nerovnost . Přitom lze předpokládat (po případném přechodu k podposloupnosti), že posloupnost je rostoucí. Z věty 2.13 nyní plyne, že . Existuje tudíž vybraná podposloupnost, která má za limitu .
Dále ukážeme, že pro libovolný hromadný bod posloupnosti je . Existuje totiž vybraná konvergentní podposloupnost , pro niž . Pak platí nerovnost , z čehož podle věty 2.12, 2 plyne tvrzení. Tedy je největší a je nejmenší hromadný bod posloupnosti .
Nyní vyšetříme neohraničené posloupnosti. Je-li posloupnost shora resp. zdola neohraničená, ukážeme, že resp. je její hromadný bod.
Nechť je posloupnost shora neohraničená, tj. pro každé existuje takové, že . Indukcí můžeme sestrojit rostoucí posloupnost indexů takovou, že pro všechna . Pak zřejmě podle věty 2.10, 1 je , proto je podle věty 2.34 také hromadným bodem posloupnosti .
Analogicky bychom vyšetřili případ zdola neohraničené posloupnosti; v tomto případě pak je hromadným bodem posloupnosti.
Konečně si všimneme, že posloupnost lze definovat pro libovolnou shora ohraničenou posloupnost (pak ovšem může být i ; příkladem je posloupnost ) a posloupnost lze definovat pro libovolnou zdola ohraničenou posloupnost (pak ovšem může být i ; příkladem je posloupnost ). Přitom bude platit resp. . Je-li např. , je vzhledem k nerovnosti podle věty 2.10, 2 také . Podobně se postupuje v případě .
Tedy ve všech případech existuje největší a nejmenší hromadný bod.
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 2.37.  Posloupnosti a z předchozího důkazu je možné zavést dokonce pro libovolnou posloupnost, pokud pro shora (resp. zdola) neohraničené posloupnosti položíme (resp. ) pro každé . Pak klademe (resp. ).
Ilustrujme konstrukci z předchozího důkazu na příkladech.
  1. Pro je , , a .
  2. Pro je , , a .
  3. Pro je , , a .
  4. Pro je , , a .
Důsledek 2.38.  Každá posloupnost má alespoň jeden hromadný bod.
Následující věta má velký význam v řadě partií matematické analýzy. Její důkaz bezprostředně vyplývá z lemmatu 2.36.
Věta 2.39. [Bolzanova-Weierstrassova] Z každé ohraničené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost.
Definice 2.40.  Nechť je dána posloupnost . Pak největší hromadný bod této posloupnosti nazveme limita superior a označujeme

nejmenší hromadný bod této posloupnosti nazveme limita inferior a označujeme

Příklad 2.41.  Vypočtěte a posloupnosti  .
Řešení.  Pro , resp. pro () platí

Jiné hromadné body neexistují (ověří se jako v příkladu 2.31). Proto a .
Zobrazit / skrýt řešení
Z předchozího snadno plyne následující důležitá věta.
Věta 2.42.  Posloupnost má limitu právě tehdy, když . Všechny tři hodnoty jsou pak stejné.
Důkaz.  „” Existuje-li , pak každá vybraná podposloupnost má tutéž limitu . Posloupnost má proto jediný hromadný bod , takže její limita superior a limita inferior se musí rovnat.
„” Označme společnou hodnotu limity superior a limity inferior. Nechť nejprve . K libovolnému lze najít index tak, že pro je . Protože platí , je kdykoliv , tedy limita posloupnosti existuje a je rovna . Podobně se vyšetří případy .
Zobrazit / skrýt důkaz
Následující tvrzení bývá často nazýváno Bolzanovo-Cauchyovo kritérium. Má především teoretický význam v důkazech existence limit.
Věta 2.43.  Posloupnost je konvergentní právě tehdy, když je cauchyovská, tj. když ke každému existuje takové, že pro všechna , , platí nerovnost . Zapsáno pomocí kvantifikátorů:

Důkaz.  Je-li posloupnost konvergentní, existuje k libovolnému index tak, že pro platí . Tedy pro je

,

takže posloupnost je cauchyovská.
Nechť je naopak posloupnost cauchyovská. K číslu existuje index tak, že pro je . Volbou dostaneme nerovnost a tedy . Posloupnost je tudíž ohraničená a podle věty 2.39 z ní lze vybrat konvergentní podposloupnost , kde . K libovolnému existuje takové, že pro je . Dále lze najít tak, že . Nyní pro libovolné platí , takže posloupnost je konvergentní.
Zobrazit / skrýt důkaz
Místo cauchyovská posloupnost se také používá název fundamentální posloupnost. Obsah věty 2.43 pak vyjadřujeme termínem, že množina  je úplná. Vlastnost úplnosti doplněná o archimedovskost je ve skutečnosti ekvivalentní axiomu R13 z definice 1.8 a je významnou vlastností reálných čísel - viz dodatek, věta D14. Dodejme, že např. množina  úplná není.}