Kapitola 1

Pojem funkce

Obsahem této kapitoly je zavedení pojmu funkce a posloupnosti a popis některých nejdůležitějších vlastností funkcí a posloupností. Správné pochopení těchto pojmů je důležité pro celý diferenciální počet funkcí jedné proměnné a rovněž pro navazující partie jako integrální počet, obyčejné diferenciální rovnice a pod.

1.1. Základní množinové pojmy

Abychom mohli v následujícím oddílu zavést množinu reálných čísel, připomeneme si některé důležité pojmy z teorie množin.
Definice 1.1.  Kartézským součinem dvou množin a  rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic , kde a jsou libovolné prvky. Značíme . Tedy

Binární relací rozumíme libovolnou podmnožinu kartézského součinu . V případě, že , se používá název binární relace na množině . K označení relací používáme obvykle malá písmena. Např.: .
Pro nás nejdůležitější případ binární relace je zaveden v následující definici.
Definice 1.2.  Relaci nazveme zobrazením množiny do množiny , jestliže platí, že ke každému prvku existuje právě jeden prvek takový, že . Množinu nazýváme definiční obor a značíme . Množinu všech prvků takových, že existuje s vlastností , nazýváme obor hodnot a značíme .
Je-li relace zobrazení, pak skutečnost, že , zapisujeme ve tvaru . Rovněž používáme zápis , což znamená, že je zobrazení do . Dále nazýváme nezávisle proměnnou a závisle proměnnou.
Poznámka 1.3.  Někdy se zobrazení definuje ještě trochu obecněji. V definici 1.2 se tedy požaduje, aby ke každému prvku existoval nejvýše jeden prvek takový, že . Některé tedy nemusí být první složkou žádné dvojice patřící . Taková relace se potom nazývá zobrazení z  do . Definiční obor se pak definuje jako množina všech , k nimž existuje takové, že . Je tedy , ale může se stát, že . V těchto skriptech nebudeme toto zobecnění používat a budeme vždy předpokládat, že .
Zobrazení mohou mít různé významné vlastnosti. Rozlišujeme tyto speciální typy zobrazení :
  • injekce (prosté zobrazení) je takové zobrazení, pro které platí:

    Tedy různým hodnotám nezávislé proměnné odpovídají různé hodnoty závisle proměnné.
  • surjekce (zobrazení na ) je takové zobrazení, pro které platí, že , tj.

  • bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) je zobrazení, které je zároveň injektivní i surjektivní.

Důležitou vlastností při zavádění reálných čísel bude jejich uspořádání.
Definice 1.4.  Buď množina. Řekneme, že binární relace na je uspořádáním, jestliže je
  1. reflexivní:     platí: ,
  2. antisymetrická:     platí: a ,
  3. tranzitivní:     platí: a .
Řekneme, že relace je úplné uspořádání, jestliže je uspořádáním a navíc platí, že je nebo . Je-li uspořádání na , pak dvojici nazveme uspořádanou množinou.
Je-li úplné uspořádání na , pak dvojici nazveme úplně (lineárně) uspořádanou množinou (neboli řetězcem).
Zápis považujeme za jinou formu zápisu vztahu . Je-li , ale , píšeme . Obdobně zavádíme . V úplně uspořádané množině  platí tzv. zákon trichotomie: Pro libovolná nastane právě jedna z možností , , . Pro píšeme , jestliže pro libovolná a .
Definice 1.5.  Buď uspořádaná množina, libovolná. Řekneme, že prvek je horní závora množiny , jestliže

a řekneme, že je dolní závora množiny , jestliže

Množina je shora (zdola) ohraničená, jestliže má alespoň jednu horní (dolní) závoru, a je ohraničená, jestliže je ohraničená shora i zdola.
Definice 1.6.  Buď uspořádaná množina, , , libovolná. Řekneme, že prvek je supremum množiny , a píšeme , jestliže
  1. pro každé ,
  2. je-li takové, že pro každé , pak je .
Číslo je tedy nejmenší horní závora množiny . Infimum množiny se definuje analogicky jako největší dolní závora a značí se .
Poznámka 1.7.  Pokud existuje supremum resp. infimum dané množiny, pak je určeno jednoznačně. To plyne přímo z definice a antisymetrie uspořádání.

1.2. Reálná čísla

S reálnými čísly se studenti intuitivně setkávají již od základní školy. Vědí, že se zobrazují jako body na číselné ose a že každému jejímu bodu odpovídá právě jedno reálné číslo. S takto nepřesně zavedeným objektem však nelze budovat základy analýzy.

Jsou dvě cesty: Buď množinu reálných čísel přesně zkonstruovat, to je však dost obtížné a zdlouhavé (nejprve se musí vybudovat přirozená čísla, pak celá čísla, potom racionální čísla a z nich reálná čísla), nebo ji zavést axiomaticky, což je způsob, který použijeme.
Definice 1.8.  Reálná čísla jsou struktura tvořená množinou  se dvěma binárními operacemi (sčítání) a (násobení) a jednou binární relací (uspořádání), přičemž platí tyto axiomy (R1) -- (R13):
    1.     (asociativní zákon),
    2.     (komutativní zákon),
    3. prvek takový, že
      (nulový prvek),
    4. prvek takový, že  (opačný prvek k ).
    Tedy je abelovská grupa.
    1.     (asociativní zákon),
    2.     (komutativní zákon),
    3. prvek takový, že
      (jednotkový prvek).
    4. prvek takový, že
      (inverzní prvek k ).
    Tedy je abelovská grupa.
  3. Operace je distributivní vzhledem k operaci , tj.
    1.     (distributivní zákon).
    I, II a III znamená, že je pole.
  4. je úplně uspořádaná množina, tj.
    1. je reflexivní, antisymetrická, transitivní a úplná relace.
  5. Operace jsou slučitelné s uspořádáním , tj.
    1. implikuje ,
    2. pro každé platí .
    I až V znamená, že je uspořádané pole.
    1. Každá neprázdná shora ohraničená podmnožina množiny  má supremum.
Soustava axiomů, které má splňovat množina reálných čísel, je složitá a na první pohled není patrné, zda je bezesporná, tedy zda taková struktura existuje. Lze ukázat, že (pokud je bezesporná teorie množin - viz např. [1]) je možné takovou strukturu zkonstruovat - viz např. [9,13]. Není ani jasné, zda nemůže existovat více takových struktur. V algebře se dokazuje, že všechny takové struktury jsou v podstatě stejné (izomorfní). Přesněji, pokud dvě struktury s nosnými množinami a splňují axiomy definice 1.8, existuje bijekce na , která zachovává operace sčítání, násobení a uspořádání - viz např. [4, str. 105], [15, str. 199], [16, str. 252] nebo [19, str. 37].
Poznámka 1.9. 
  1. Tak jak je zvykem, místo píšeme . Odčítání definujeme jako přičtení opačného prvku, tj. . Konečně dělení definujeme jako vynásobení převráceným prvkem, tj. , . Z axiomů lze odvodit jednoznačnost nuly a jedničky a opačných a převrácených prvků a rovněž známá pravidla pro práci s nerovnostmi, jako např. že násobení záporným číslem obrací nerovnost, že , že převrácený prvek ke kladnému je také kladný a pod. Vesměs jde o zcela jednoduché důkazy - viz [17, str. 30].
  2. Reálná čísla jsou tvořena tzv. nosnou množinou , která má jistou strukturu (je na ní definováno sečítání, násobení, uspořádání atd. a platí jisté axiomy). V dalším budeme (nepřesně, ale stručněji) celou tuto strukturu označovat symbolem .
  3. Snadno se ověří, že axiom (R13) je ekvivalentní s axiomem

    (13)' Každá neprázdná zdola ohraničená podmnožina množiny má infimum.

    Další ekvivalentní tvrzení lze nalézt v dodatku ve větě D.14.
  4. Ukážeme, jakým způsobem jsou v obsaženy další známé číselné obory. Množina se nazývá induktivní, jestliže má následující dvě vlastnosti:
    1. , tj. obsahuje jedničku,
    2. s každým také .
    Např. množina je induktivní. Snadno je vidět, že průnik systému induktivních množin je také induktivní. Průnik všech induktivních podmnožin , tj. její nejmenší induktivní podmnožinu, nazýváme množinou přirozených čísel a značíme . Tedy . Pro každou induktivní množinu tudíž platí . Pokud víme, že také platí , je nutně . Na tomto faktu je založen princip úplné matematické indukce. Protože podle axiomu (R3) existuje v  prvek nula a podle (R4) existuje ke každému prvku prvek , můžeme definovat množinu celých čísel vztahem . Konečně množinu racionálních čísel definujeme jako všechny možné podíly celých čísel, tj. . Každé reálné číslo, které není racionální, se nazývá iracionální. Množinu všech iracionálních čísel značíme , tedy . Později, až ukážeme existenci odmocnin (viz lemma 1.14), uvidíme, že je neprázdná. Z tohoto výsledku vyplyne, že množina nesplňuje axiom (R13).
  5. Pro úplnost ještě připomeňme strukturu  množiny komplexních čísel. Ta je definována jako množina všech dvojic reálných čísel, tj. , na níž je zavedeno sečítání a násobení obvyklým způsobem, tedy a . Místo složkového zápisu používáme častěji algebraický tvar , kde . Platí .
Příklad 1.10.  Dokažte úplnou indukcí následující vlastnosti přirozených čísel:
  1. .
  2. Pro každé prvek pokrývá v , tedy neexistuje takové, že .
  3. Každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek (říkáme, že je dobře uspořádaná).
Řešení. 
ad (A)
Označme . Protože je induktivní a , je . Tedy . ad (B)
Protože , platí . Stačí ukázat, že pro libovolná , , je nutně . To totiž znamená, že mezi a neleží žádné další přirozené číslo. Jelikož je grupa, je a , což znamená, že . Podle (A) je proto a odtud . ad (C)
Připusťme, že existuje množina , , která nemá nejmenší prvek. Označme nyní . Podle (A) je nutně . Dále kdyby , nemohlo by platit - vzhledem k (B) by totiž byl nejmenší prvek . Tedy . Zjistili jsme, že je induktivní, takže , a proto , což je spor.
Zobrazit / skrýt řešení
O množinách , a dokážeme tři tvrzení, která popisují jejich významné vlastnosti.
Lemma 1.11.  Nechť , . Pak existuje takové, že .
Důkaz.  Nejprve dokážeme, že není v shora ohraničená. Připusťme, že platí opak. Podle axiomu (R13) pak existuje . Protože a je lineárně uspořádaná, musí podle definice suprema existovat takové, že . Pak ale , , což je spor s tím, že je (nejmenší) horní závora . Nyní dokážeme tvrzení lemmatu. Kdyby neexistovalo s vlastností , platilo by pro všechna , že , tj. a by byla shora ohraničená, což vede ke sporu.
Zobrazit / skrýt důkaz
Uspořádané pole mající vlastnost popsanou v předchozím lemmatu, se nazývá archimedovské. Množina je tedy archimedovské pole.
Lemma 1.12.  Nechť , . Pak existuje takové, že .
Důkaz.  Pro lze volit . Předpokládejme tedy, že . Pak a podle lemmatu 1.11 existuje tak, že , tj. . Zvolme takové  pevně. Protože není shora ohraničená, existuje takové, že . Podle příkladu 1.10(C) je dobře uspořádaná, takže lze předpokládat, že je nejmenší přirozené číslo mající tuto vlastnost. Pak je ovšem , takže . Celkově , a tudíž . Je-li , je a podle předchozí části důkazu existuje takové, že . Pak je ovšem a .
Zobrazit / skrýt důkaz
Předchozí lemma vyjadřuje důležitou vlastnost množiny všech racionálních čísel, kterou slovně vyjadřujeme takto: Množina je hustá v . Stejnou vlastnost má i množina .
Lemma 1.13.  Množina je hustá v .
Důkaz.  K důkazu potřebujeme ukázat, že , což provedeme až za lemmatem (1.14). Je-li , sporem se snadno ověří, že pro je (množina racionálních čísel je totiž pole). Nechť nyní , . Zvolme . Pak je a podle lemmatu (1.12) existuje takové, že . Tedy a .
Zobrazit / skrýt důkaz
Stručně shrnuto, předchozí dvě lemmata říkají, že mezi libovolnými dvěma různými reálnými čísly leží jak nějaké racionální, tak nějaké iracionální číslo. Opakovaným užitím pak dostáváme, že mezi dvěma různými reálnými čísly leží jak nekonečně mnoho různých racionálních, tak i nekonečně mnoho různých iracionálních čísel.

Na střední škole se odvozuje řada pravidel pro počítání s odmocninami. V rámci středoškolské matematiky však nelze dokázat existenci libovolné odmocniny. To je obsahem následujícího lemmatu.
Lemma 1.14.  Ke každému kladnému a ke každému existuje právě jedno kladné číslo takové, že .
Důkaz.  Naznačíme jen princip. Označme . Pak lze ukázat, že je neprázdná a shora ohraničená a dále, že pro platí a že je to jediné číslo s touto vlastností - detaily viz [17, str. 41]. Jiný důkaz viz dodatek, příklad D.42.
Zobrazit / skrýt důkaz
Číslo z předchozího lemmatu nazýváme -tou odmocninou z čísla a značíme . Již na střední škole se dokazuje, že , takže množina iracionálních čísel je neprázdná.
Dále pro , a kladné definujeme . Z pravidel pro počítání s odmocninami lze ověřit, že tato definice je korektní, tj. je-li , určují a totéž číslo. Tím je definován symbol pro libovolné kladné a libovolné .

Nerovnost z následujícího příkladu je velmi užitečná v řadě úvah.
Příklad 1.15.  Dokažte, že pro libovolné , a platí (tzv. Bernoulliova nerovnost). Pro a platí dokonce ostrá nerovnost.
Řešení.  Důkaz provedeme úplnou indukcí. Označme množinu těch přirozených čísel, pro něž nerovnost platí. Zřejmě , protože nerovnost samozřejmě platí.
Nechť nějaké , tj. . Protože platí , máme , tedy . Množina je tudíž induktivní, takže . Zřejmě pro je , a tedy pro platí ostrá nerovnost.
Pro řadu úvah s reálnými čísly (zejména při výpočtech některých druhů limit) je výhodné přidat k množině reálných čísel dva symboly, které intuitivně leží před či za všemi reálnými čísly (tzv. mínus nekonečno resp. plus nekonečno).
Definice 1.16.  Množinu (kde a jsou symboly nepatřící do množiny ), která je úplně uspořádaná tak, že pro libovolné platí , nazýváme rozšířenou množinou reálných čísel.
Pokud nemůže dojít k nedorozumění, znaménko vynecháváme a píšeme pouze . Prvky a se také někdy nazývají nevlastní body rozšířené číselné osy. O číslech pak říkáme, že jsou to vlastní body.
Poznámka 1.17.  Symbol resp. si můžeme představovat jako „obrovské” kladné resp. záporné číslo (větší resp. menší než libovolné konkrétní reálné číslo ). Na základě této intuitivní představy je užitečné rozšířit některé operace s reálnými čísly i na množinu , což se ukáže v dalším výhodné při počítání s limitami. Konkrétně při označení , , zavádíme následující operace:
  1. ,
    ,
    .
    Nedefinujeme: , .
  2. , & ,
    , & ,
    , & ,
    .
    Nedefinujeme: .
  3. Pro definujeme , s následujícími výjimkami.
    Nedefinujeme: , .
  4. .
    Nedefinujeme:  ,  ,  ,  ,  ,  .
Dále připomeneme definice různých typů intervalů.
Definice 1.18.  Jsou-li
  1. takové, že , položíme (tzv. otevřený interval);
  2. , položíme (tzv. uzavřený interval);
  3. , položíme ;
  4. , položíme .
U variant 3 a 4, pokud jsou oba koncové body z , se používá název polootevřený nebo polouzavřený interval; pokud je z  jen jeden koncový bod, tj. jde o interval nebo , jedná se o uzavřený interval. Dále je . Tento interval je otevřený i uzavřený.
Intervaly, jejichž oba koncové body jsou z , se nazývají ohraničené, v opačném případě jde o neohraničené intervaly.

V matematické analýze hrají důležitou roli číselné množiny zvané okolí bodu. V následující definici zavedeme tento pojem pro body na rozšířené číselné ose .
Definice 1.19.  Nechť , . Pak interval nazveme okolím bodu , interval pravým okolím bodu a interval levým okolím bodu . Množina se nazývá ryzí nebo prstencové okolí bodu .
Buď . Pak interval nazveme okolím bodu a interval okolím bodu .
Příklady různých okolí i s tím, jak je znázorňujeme, jsou na obr. 1.1a.
Pokud je důležitá konkrétní velikost okolí ve vlastním bodě , píšeme místo  podrobněji . Chceme-li ve slovním vyjádření zdůraznit velikost tohoto okolí, mluvíme o -okolí bodu .
U okolí nevlastních bodů jsme velikost zatím nezavedli, což je někdy nevýhodné. Je možné to odstranit následovně. Protože okolí vlastního bodu se se zmenšujícím  zmenšuje, chtěli bychom, aby to u okolí nevlastních bodů bylo obdobné. Proto klademe resp. a tyto množiny nazýváme -okolí bodu resp. .
Důvodem zavedení ryzího okolí vlastního bodu je, že v některých úvahách je výhodné vyloučit střed okolí. Konečně si všimněte, že , kde , je vždy otevřený interval.

Pro řadu důkazů je důležité, že okolí mají dvě vlastnosti popsané v následující poznámce. Jejich znázornění (pro okolí bodů z ) je jasné - viz obr. 1.1b.
Poznámka 1.20. (Charakteristické vlastnosti okolí) Platí:
  1. Jsou-li okolí bodu , pak rovněž je okolí bodu .
  2. Jsou-li různé, tj. , pak existují okolí taková, že .
U první vlastnosti je totiž , kde . U druhé vlastnosti je v případě vlastních bodů a stačí vybrat libovolná kladná tak, aby . Je-li některý bod nevlastní, postupuje se obdobně.

1.3. Pojem funkce

Definice 1.21.  Buď . Zobrazení nazýváme reálnou funkcí reálné proměnné nebo stručně funkcí jedné proměnné.
Množina M se nazývá definiční obor funkce a značí se , množina se nazývá obor hodnot funkce .
Příkladem reálné funkce reálné proměnné je . Podobně zobrazení , kde
  • , nazýváme komplexní funkcí reálné proměnné (např. );
  • , nazýváme reálnou funkcí komplexní proměnné (např. );
  • , nazýváme komplexní funkcí komplexní proměnné (např. ).
V tomto skriptu budeme nadále pracovat s reálnými funkcemi reálné proměnné (nebude-li řečeno jinak). Pro tento případ je velmi důležité grafické znázornění.
Definice 1.22.  Grafem reálné funkce reálné proměnné je množina bodů

,

kde značí bod roviny s pravoúhlými souřadnicemi a .
Úmluva: Je-li zadaná analyticky (vzorcem) a nebude-li udán její definiční obor, budeme rozumět největší množinu reálných čísel , pro něž má vzorec  smysl.
Příklad 1.23.  Určete definiční obor a obor hodnot funkce

a rozhodněte, zda se jedná o prostou funkci.
Řešení.  Podle naší úmluvy je definiční obor funkce množina všech reálných , pro něž podíl existuje, tj. . Nyní ještě musíme zjistit obor hodnot, tj. určit, jakých všech hodnot může nabývat  . Počítejme:

Je vidět, že ke každému existuje právě jedno , funkce je tedy prostá a obor hodnot je . Grafem je rovnoosá hyperbola - viz obr. 1.2.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 1.24.  Funkce

se nazývá absolutní hodnotou. Určete její definiční obor a obor hodnot a nakreslete graf.
Řešení.  Podle své definice je tato funkce definována pro každé reálné číslo a výsledkem může být libovolné nezáporné reálné číslo. Tedy . Graf je tvořen dvěma polopřímkami - viz obr. 1.3a.
Zobrazit / skrýt řešení
Poznámka 1.25. [Základní vlastnosti absolutní hodnoty] Absolutní hodnota je velmi důležitá a má řadu jednoduchých, ale významných vlastností, dokazovaných na střední škole. Mezi ně patří zejména (, ):
  1. , , , ,     pro ;
  2. ;
  3. ;
  4. právě tehdy, když , neboli když .
Dále pro práci s rozšířenou množinou reálných čísel klademe .
Příklad 1.26.  Funkci , kde je určeno nerovnostmi , nazveme funkcí celých částí. Určete její definiční obor a obor hodnot a nakreslete graf.
Řešení.  Slovně lze funkci popsat tak, že číslu je přiřazeno největší celé číslo, které je menší nebo rovno . Funkce je definována pro každé reálné číslo, tedy . Zřejmě je . Protože pro je , platí i opačná inkluze, takže . Graf je složen z polouzavřených úseček - viz obr. 1.3b.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 1.27.  Funkce

se nazývá signaturou. Zřejmě je , . Graf je tvořen dvěma otevřenými polopřímkami a bodem - viz obr. 1.3c.
Příklad 1.28.  Funkce se nazývá Dirichletovou funkcí. Určete její definiční obor a obor hodnot.
Řešení.  Zřejmě je , .
Zobrazit / skrýt řešení
Definice 1.29.  Funkce se nazývá shora ohraničená, jestliže existuje takové, že pro každé , zdola ohraničená, jestliže existuje takové, že pro každé , a ohraničená, jestliže je ohraničená shora i zdola, tedy jestliže existuje , , takové, že pro každé .
Uvědomte si, že ohraničenost se týká oboru hodnot. Při označení z definice, je-li funkce ohraničená shora, leží celý graf pod přímkou , je-li ohraničená zdola, leží celý nad přímkou a je-li ohraničená, leží celý mezi dvojicí takových přímek (lze vždy volit symetricky přímky a ).
Definice 1.30.  Řekneme, že funkce  je sudá, jestliže pro každé platí a (graf je souměrný vzhledem k ose ), a řekneme, že funkce  je lichá, jestliže pro každé platí a (graf je souměrný vzhledem k počátku).
Příklad 1.31.  Ověřte, zda jsou následující funkce sudé nebo liché. Jsou ohraničené?
a)    , b)    , c)    .
Řešení.  Vzhledem k úmluvě uvažujeme maximální definiční obor, tj. u všech tří funkcí je definičním oborem množina : .
  1. . Tedy je lichá funkce. Funkce je ohraničená. Pro libovolné totiž platí:

    Platí tedy . Všimněte si, že v předchozích úpravách nastává rovnost právě tehdy, když , tj. pro . Lze tedy volit za ohraničující přímky a , tj. a , a tyto hodnoty nelze zlepšit, protože a . Graf je znázorněn na obr. 1.4a.

  2. . Tedy je sudá funkce. I tato funkce je ohraničená. Je totiž

    a podobně

    přičemž rovnost nastane jen pro . Graf je znázorněn na obr. 1.4b. Za ohraničení shora je možné volit přímku , které nelze zlepšit, protože . Nejlepší odhad zdola je .

  3. Vidíme např., že , . Našli jsme tedy jednu hodnotu  takovou, že neplatí ani , ani . Funkce tedy není ani sudá ani lichá. Také tato funkce je ohraničená. Platí (s využitím nerovnosti 2 z poznámky 1.25 a odhadu z části a. )

    Tedy . Graf je znázorněn na obr. 1.4c. Z obrázku je vidět, že odhady by šlo zlepšit, ale už není tak snadné určit nejlepší možné hodnoty. S nástroji, které to umožní, se budeme seznamovat v dalším textu.

Zobrazit / skrýt řešení
Definice 1.32.  Funkce se nazývá periodická s periodou , jestliže platí, že pro každé je také a . Nejmenší perioda funkce je nejmenší prvek množiny všech period této funkce (pokud ovšem existuje).
Má-li funkce periodu , pak také čísla jsou periody, takže množina period dané funkce je buď prázdná, nebo nekonečná. Typickým příkladem periodických funkcí jsou funkce goniometrické. Periodická je rovněž konstantní funkce, která má za periodu dokonce libovolné kladné reálné číslo. Protože neexistuje, nemá tato funkce nejmenší periodu.
Příklad 1.33.  Najděte nejmenší periodu funkce a nakreslete její graf.
Řešení.  Tato funkce má zřejmě nejmenší periodu . Graf je znázorněn na následujícím obrázku.
Zobrazit / skrýt řešení
Poznámka 1.34.  Jak již bylo řečeno, ne každá periodická funkce musí mít nejmenší periodu. Např. Dirichletova funkce z příkladu 1.28 má evidentně za periodu libovolné kladné racionální číslo, ale neexistuje, takže nejmenší periodu tato funkce nemá. Funkcemi, které mají nejmenší periodu, jsou funkce goniometrické. Méně triviálním příkladem funkce mající nejmenší periodu je tzv. Riemannova funkce definovaná takto: pro , pro , ,  nesoudělné, a pro . Tato funkce má za periody právě přirozená čísla, nejmenší perioda je .

O existenci nejmenší periody lze dokázat následující výsledky:
  1. Nechť je množina všech period funkce . Je-li , je , tj. je také perioda.
  2. Je-li periodická nekonstantní funkce spojitá aspoň v jednom bodě, má nejmenší periodu. (S pojmem spojitosti se seznámíte v kapitole 4.)
  3. Má-li funkce nejmenší periodu, pak všechny ostatní periody jsou její celočíselné násobky.
Další vlastnosti, které funkce mohou mít, se týkají tzv. monotonie.
Definice 1.35.  Nechť je dána funkce a množina . Pak funkci nazveme
rostoucí na množině , jestliže pro každá dvě taková, že , je ,
klesající na množině , jestliže pro každá dvě taková, že , je ,
nerostoucí na množině , jestliže pro každá dvě taková, že , je ,
neklesající na množině , jestliže pro každá dvě taková, že , je .
Funkce, která má některou z uvedených čtyř vlastností, se nazývá monotonní na množině . Funkce, která je rostoucí nebo klesající, se nazývá ryze monotonní.
V praxi bývá množina nejčastěji intervalem anebo je . Pro vyšetřování monotonie funkcí dosud nemáme vhodné nástroje, proto příklady zatím odložíme. Na obr. 1.6a je znázorněna funkce rostoucí na intervalu, na obr. 1.6b funkce neklesající na intervalu. Funkce na obr. 1.6a je samozřejmě rovněž neklesající na svém definičním intervalu.

Kromě pojmu funkce monotonní na množině se zavádí také pojem funkce monotonní v bodě. Zatímco první pojem je tzv. globální, druhý je tzv. lokální.
Definice 1.36.  Řekneme, že funkce je rostoucí v bodě , jestliže existuje okolí tak, že pro je a pro je .
Analogicky se definuje funkce klesající v bodě, neklesající v bodě a nerostoucí v bodě. Společný název pro tyto čtyři vlastnosti je funkce monotonní v bodě, pro první dvě vlastnosti pak funkce ryze monotonní v bodě.
V předchozí definici se požaduje existence funkčních hodnot v jistém okolí bodu . Implicitně se tedy říká, že musí existovat okolí takové, že platí .
Pokud je definičním oborem funkce  interval a bod je jeho krajním bodem, požaduje se splnění příslušné nerovnosti jen v příslušném levém nebo pravém okolí.

Pro případ, že definičním oborem  je interval, je vztah mezi monotonií na intervalu a v jeho jednotlivých bodech popsán v následující větě. V jejím důkazu si všimněte, jak důležitou roli hraje axiom R13 o existenci suprema z definice 1.8.
Věta 1.37.  Funkce je rostoucí na intervalu právě tehdy, když je rostoucí v každém jeho bodě. Analogická tvrzení platí pro další typy monotonie.
Důkaz.  Je-li rostoucí na intervalu , je zřejmě rostoucí v každém jeho bodě. Důkaz opačného tvrzení je obtížnější.
Nechť , . Označme . Protože je rostoucí v bodě , existuje okolí takové, že pro je , takže množina  je neprázdná. Dále je shora ohraničená číslem , tudíž existuje . Ukážeme, že .
Protože je rostoucí v bodě , existuje okolí takové, že pro je a pro je . Nechť . Z definice suprema vyplývá, že existuje . Pak , což je spor, a tedy .
Připusťme, že . Pak pro je , takže . To je ale spor s definicí suprema . Tedy a platí .
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 1.38.  Ověřte, že funkce

je ryze monotonní v každém bodě, ale není monotonní na množině . Rozhodněte, zda je tato funkce monotonní na množině .

Řešení.  Funkce je zřejmě rostoucí na intervalu a podobně je rostoucí na intervalu . Je tedy rostoucí v každém bodě . V bodě je však klesající - za okolí vyhovující definici 1.36 lze volit např. interval . Že není monotonní na , plyne z věty 1.37, je to však jasné i bez ní - viz obr. 1.7.
Ani na množině není funkce monotonní. Vzhledem k předchozím úvahám by musela být leda rostoucí, ale platí , přičemž  . Všimněte si, že funkce  roste v každém bodě množiny . Nejde však o spor s větou 1.37, protože  není interval.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 1.39.  Dokažte, že funkce pro , , je rostoucí v bodě .
Řešení.  Protože pro je , je . Tedy pro a pro .
Přitom lze ověřit, že tato funkce není monotonní na žádném ryzím levém okolí ani na žádném ryzím pravém okolí , kde .
Zobrazit / skrýt řešení

Definice 1.40.  Buďte a funkce. Pak

se nazývá složená funkce. Píšeme . Funkce se nazývá vnitřní složkou, funkce vnější složkou.
Snadno se ověří, že relace z předchozí definice je zobrazením, takže jde skutečně o funkci. Z definice vyplývá, že musíme najít ta , pro něž je . Hodnotu složené funkce potom dostaneme dosazením tohoto  do funkce , tj. . Aby tedy složená funkce existovala (tj. aby množina dvojic s vlastností požadovanou v definici 1.40 nebyla prázdná), je nutné a stačí, aby .
Rozklad do složek samozřejmě není jednoznačný. Např. pro funkci máme „přirozený” rozklad , a „umělý” rozklad (jeden z nekonečně mnoha) , .
Příklad 1.41.  Určete složky následujících funkcí a najděte jejich definiční obory:
a) , b) , c) .
Řešení.
  1. Je , , , . Protože platí , je definovaná na .
  2. Je , , , . Tedy existuje, jen pokud zúžíme na interval , neboť pak .
    Tudíž .
  3. Je , , , . Protože , je a neexistuje složená funkce .
Zobrazit / skrýt řešení
Poznámka 1.42.  Proces skládání funkcí lze několikrát opakovat a obdržíme tak funkci vícenásobně složenou.
Příklad 1.43.  Určete složky a definiční obor složené funkce

Řešení.  Je , , , . Určíme definiční obor funkce . Musí být . Pak bude i , tedy .
Zobrazit / skrýt řešení
V následující definici je zaveden velmi důležitý pojem inverzní funkce.
Definice 1.44.  Nechť je funkce, která je bijekcí množiny na množinu . Pak se nazývá inverzní funkcí k funkci .
Poznámka 1.45. 
  1. Z předchozí definice vyplývá, že k funkci existuje inverzní funkce právě tehdy, když je prostá funkce, tj. když pro , , platí .
  2. Mezi definičními obory a obory hodnot platí následující vztahy:

    Dále právě tehdy, když .
  3. Inverzní funkcí k funkci  je .
  4. Platí:
    pro každé ,
    pro každé .
  5. Funkce a chápané jako relace jsou tvořeny týmiž dvojicemi . Při zápisu funkce je běžné značit nezávislou proměnnou a závislou proměnou , proto místo vztahu píšeme . Protože

    jsou grafy prosté funkce a funkce k ní inverzní symetrické podle přímky .
Věta 1.46.  Inverzní funkce k funkci rostoucí (klesající) na množině je rostoucí (klesající) na množině .
Důkaz.  Nejprve poznamenejme, že je zřejmé, že ryze monotonní funkce  je prostá, tedy inverzní funkce  existuje. Budeme předpokládat, že je např. rostoucí, a ukážeme, že je také rostoucí.
Připusťme, že funkce není rostoucí. Existují tedy taková , , pro která . Funkce je rostoucí, z čehož plyne, že , a tedy , což je spor. Funkce je tedy rostoucí.
Důkaz pro případ, že je klesající, se provede analogicky.
Zobrazit / skrýt důkaz