Předchozí kapitola Zpět na obsah  

Kapitola 7

Přibližné vyjádření funkce

V této kapitole ukážeme, jak lze přibližně určovat funkční hodnoty funkce  v okolí daného bodu, tj. lokálně . Zadanou funkci nahradíme (aproximujeme) nějakou jednodušší funkcí. V našem případě budeme používat polynomy. Nejjednodušší aproximace je pomocí lineárního polynomu, kdy přírůstek funkce zaměňujeme lineární funkcí — tzv. diferenciálem. Aproximujeme-li funkci obecně polynomem stupně , mluvíme o Taylorově rozvoji.
Ilustrujme nejprve tento problém na příkladě: Chceme aproximovat danou funkci v okolí bodu polynomem stupně . Použijeme vzorec pro součet nekonečné geometrické řady, podle kterého

Znamená to, že funkci můžeme v okolí bodu s určitou chybou nahradit funkcí . Říkáme, že funkci „lokálně aproximujeme” (tj. nahrazujeme) polynomem stupně .

7.1. Diferenciál

Definice 7.1.  Nechť funkce je definovaná v okolí bodu  a platí . Pak číslo nazýváme přírůstkem nezávisle proměnné a rozdíl nazýváme přírůstkem funkce  v bodě  neboli přírůstkem závisle proměnné — viz obr. 7.1.
Naším cílem bude vyšetřit vyjádření přírůstku v závislosti na čísle . Nejjednodušší případ je obsahem následující definice.
Definice 7.2.  Řekneme, že funkce je diferencovatelná v bodě , jestliže existuje okolí bodu tak, že pro všechny body platí

kde je vhodné číslo a je funkce taková, že . Je-li funkce v bodě diferencovatelná, nazývá se výraz diferenciál funkce  v bodě a značí se nebo stručně bez označení přírůstku jen .
Následující věta udává vztah mezi diferencovatelností funkce a její derivací.
Věta 7.3.  Funkce má v bodě diferenciál (je diferencovatelná v ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace . Přitom pro konstantu  z definice 7.2 platí , a tedy

(Píšeme též .)
Důkaz.  „”
Předpokládejme, že funkce je diferencovatelná v , tj. existují a tak, že platí pro , , kde Odtud plyne

takže

tj. existuje vlastní derivace a je rovna .
„”
Předpokládejme existenci . Chceme dokázat, že výraz je diferenciál funkce v bodě . Nechť . Pak

takže je diferencovatelná v bodě .
Zobrazit / skrýt důkaz
Uvědomte si, že z předchozí věty vyplývá, že konstanta  a funkce z definice 7.2 jsou určeny jednoznačně. Nechť existuje diferenciál funkce v bodě . Snadno se ověří, že platí

Je-li , platí rovněž

Geometrický význam diferenciálu.

Víme již, že vlastnost „mít diferenciál” je rovnocenná vlastnosti „mít derivaci”. Sestrojme tečnu  ke grafu funkce  v bodě — viz obr. 7.1. Pak platí . Přírůstek je součtem dvou hodnot: diferenciálu a . Ze vztahů (7.1) a (7.2) je vidět, že pro malá  je (je-li ) mnohem menší než diferenciál. Nejběžnější aplikace diferenciálu spočívá v tom, že (pro malá ) klademe

tj. skutečný přírůstek funkce nahradíme s jistou chybou diferenciálem (geometricky graf funkce nahradíme její tečnou). Někdy se používá označení

Příklad 7.4.  Vypočtěte přibližně a .
Řešení.  Použijeme vzorec (7.3). Dostáváme
  1. , ,  ,
    Aplikujeme diferenciál: . Přesná hodnota je po zaokrouhlení .
  2. , diferenciál , , . S použitím diferenciálu dostaneme . Přesná hodnota je po zaokrouhlení .
Zobrazit / skrýt řešení
Nechť má derivaci na množině . Pak pro každé je definován diferenciál , tj. diferenciální funkce. Je to funkce dvou proměnných: nezávislé proměnné a přírůstku nezávisle proměnné .
Pro lineární funkci platí . Tato rovnost vysvětluje, proč pro označení přírůstku nezávisle proměnné používáme rovněž symbol . Pro diferenciál funkce  pak máme , odkud plyne , což zdůvodňuje označení pro derivaci funkce symbolem . Při tomto označení (pocházejícím od Leibnize, označení čárkou zavedl Lagrange) mají některé vzorce pro derivování názorný tvar. Například:
  • Větu o derivaci složené funkce o složkách , lze zapsat jako

  • Větu o derivaci inverzní funkce k funkci lze vyjádřit jako

Příklad 7.5.  Dokažte, že pro libovolné platí

Pomocí tohoto vzorce vypočtěte přibližně , a .
Řešení.  Položme , . Pak , a . Odtud máme , tj. .
Právě dokázaný vzorec aplikujme na konkrétní příklady. Platí:
  1. . Můžeme ověřit, jak je naše aproximace přesná: Na kalkulačce najdeme (po zaokrouhlení) , a proto chyba, které jsme se aproximací dopustili, je .
  2. .
  3. .
Zobrazit / skrýt řešení
Použití diferenciálu na řešení podobných úloh je v dnešní době archaismem. Přibližný vzorec ovšem neztrácí smysl, pokud nemáme analytický předpis funkce a hodnoty a jsme získali např. měřením. Zásadní význam má tento vztah rovněž ve fyzice a pod. při odvozování nejrůznějších vzorců, kdy se vyšší mocniny přírůstku (tj. u nás výraz ) zanedbávají. Tyto členy vlastně zmizí při nějakém limitním přechodu. Použití diferenciálu znamená linearizaci problému.
Diferenciál se rovněž používá při odhadu tzv. absolutní chyby a relativní chyby . Klade se a . Toto použití ilustrují následující (velmi jednoduché) příklady.
Příklad 7.6.  Vypočtěte, o kolik se přibližně zvětší objem koule, jestliže za poloměr místo hodnoty vezmeme hodnotu . Odhadněte relativní chybu výpočtu.
Řešení.  Obecný vzorec pro výpočet objemu koule je . Platí , a proto .
Dále , tedy pro relativní chybu máme , tj. asi . Nebo se stejným výsledkem.
Příklad je samozřejmě „školský”. Vzhledem k jednoduchosti vzorce je snadné získat přesné hodnoty. Je a , tj. asi .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 7.7.  Pomocí diferenciálu odhadněte, jaká je přibližná změna obsahu kruhové výseče o úhlu a poloměru m
  1. při zvětšení poloměru o cm;
  2. při zmenšení středového úhlu o .
Řešení.  Vzorec pro výpočet obsahu kruhové výseče je

V prvním případě uvažujeme funkci v závislosti na . Aproximujeme skutečný rozdíl pomocí diferenciálu a dostáváme

odkud .
V druhém případě postupujeme obdobně. Platí rad. Aproximujeme funkci diferenciálem

Odhady relativních chyb jsou

Zobrazit / skrýt řešení

7.2. Taylorův vzorec

Řešme problém zmíněný v úvodu této kapitoly: Nechť má funkce v bodě všechny derivace až do řádu , které jsou vlastní. Chceme funkci v okolí bodu nahradit polynomem tvaru tak, aby polynom aproximoval funkci co „nejpřesněji”. Je jistě rozumné požadovat, aby

což je rovnic o neznámých , kde . Platí

Odtud dostáváme hledaný polynom

Tento polynom se nazývá Taylorův polynom stupně  funkce  se středem  a značí se nebo podrobněji . Nahradíme-li funkci v okolí bodu Taylorovým polynomem , dopustíme se chyby, kterou označujeme , tj.

O velikosti této chyby mluví následující věta.
Věta 7.8. (Taylorova věta) Nechť má funkce v okolí bodu vlastní derivace až do řádu pro některé . Pak pro všechna z tohoto okolí platí:

přičemž je vhodné číslo ležící mezi a . Chyba se nazývá zbytek a vzorec (7.4) se nazývá Taylorův vzorec.
Důkaz viz dodatek, věta D54. Uvedené vyjádření zbytku je v tzv. Lagrangeově tvaru. Existují i jiné (složitější) tvary, které jsou pro odhady velikosti určitých typů zbytků vhodnější.
Poznámka 7.9.  \mbox{}
  1. Číslo ležící mezi a se někdy vyjadřuje ve tvaru

    kde .
  2. Volíme-li , obdržíme tzv. Maclaurinův vzorec:

    Polynom pak nazýváme Maclaurinův polynom.
  3. Chybu nemůžeme (obecně vzato) přesně vypočítat, neboť neznáme , ale často ji lze rozumně odhadnout. Je-li ovšem polynom a , pak pro každé , neboť je nulový polynom.
  4. Z Taylorovy věty plyne (je-li ohraničená v nějakém okolí )

  5. Speciální případy Taylorova rozvoje:
    1. pro dostáváme , což je Lagrangeova věta o střední hodnotě;
    2. pro dostáváme vyjádření přírůstku funkce pomocí diferenciálu s chybou . Označíme-li a , dostáváme definici diferencovatelnosti funkce .
Příklad 7.10.  Napište Taylorův polynom stupně pro následující funkce v bodě :

Řešení.
  1. Vypočteme derivace funkce

    Dosazením za určíme hodnoty derivací a ze (7.4) dostáváme pro Taylorův polynom . Zřejmě a pro — viz poznámka 7.9 iii).
  2. Pro derivace funkce platí v každém bodě :

    Odtud vidíme, že pro libovolné . Taylorův polynom stupně  funkce  v bodě  je pro obecné tvaru

  3. Ověřte jako cvičení, že funkce je v bodě spojitá. Spočítejme první derivaci v bodě :

    Obdobně dostaneme , dohromady . Druhou derivaci v bodě  musíme počítat stejně jako první derivaci přímo z definice. Dostáváme

    přičemž jsme ve výpočtu použili větu o limitě složené funkce () a dvakrát l'Hospitalovo pravidlo.
    Proto Taylorův polynom druhého stupně funkce je

    tj. tento polynom je nulový.
    Není těžké ukázat, že daná funkce má nulový Taylorův polynom stupně pro všechna . Snadno totiž vidíme, že

    kde je polynom v proměnné . Odtud , neboť

    kde jsme ve výpočtu použili větu o limitě složené funkce (substituce ) a poslední rovnost zdůvodníme tím, že funkce „utíká do nekonečna rychleji než libovolný polynom”. Podobně vyjde .
Zobrazit / skrýt řešení

Maclaurinovy vzorce elementárních funkcí

V následujícím přehledu jsou uvedeny Maclaurinovy vzorce nejdůležitějších elementárních funkcí. V níže uvedených vzorcích značí libovolné přirozené číslo a značí vhodné číslo mezi a nulou.
  1. Pro každé platí

    Zdůvodnění: (důkaz provedeme indukcí), odkud , .
  2. Pro každé platí

    Zdůvodnění: , , , , odkud plyne pro

  3. Pro každé platí

  4. Pro každé platí

    Zdůvodnění:  ,  , obecně  , tedy  .
  5. Pro libovolná a (v případě i pro ) platí

    kde pro , definujeme tzv. zobecněný binomický koeficient

    Maclaurinův vzorec mocninné funkce se někdy nazývá binomický vzorec.
    Zdůvodnění: Pro derivace platí

    a proto

Poznámka 7.11.  V případě , je definice zobecněného binomického koeficientu ve shodě s definicí binomického čísla známou z elementární matematiky. Speciálními případy binomického rozvoje jsou pro , , binomická věta a pro geometrická řada. Ověřte!
Poznámka 7.12.  Rozvoj mocninné funkce používáme především k počítání odmocnin. Je-li , pak pro každé je odhad chyby

Poznámka 7.13.  Z Maclaurinových rozvojů exponenciály, sinu a kosinu je vidět (aspoň formálně, exponenciální funkce nebyla pro komplexní hodnoty definována a hodnota zbytku v komplexním čísle rovněž v této podobě nemá smysl), proč platí tzv. Eulerův vztah :

S přesným důkazem se seznámíte v teorii mocninných řad.
Příklad 7.14.  Napište Taylorův polynom 3. stupně v bodě funkce .
Řešení.  Ukážeme dva možné postupy řešení.
  1. Nejprve budeme postupovat přímo podle definice a počítat hodnoty derivací funkce v bodě až do řádu tři. Platí

    Taylorův polynom 3. stupně funkce v bodě je tudíž

  2. Podívejme se na úlohu „chytřeji”. Víme, že platí . Označme a Taylorův polynom 3. stupně funkcí po řadě , v bodě . Platí

    Počítejme proto podíl těchto polynomů:

    Dospěli jsme ke stejnému výsledku , ale podstatně jednodušší cestou než v prvním případě. Tento postup lze korektně zdůvodnit — viz [17, str. 176]. (Zejména při počítání polynomů vyšších stupňů je tento způsob jednoznačně výhodnější.)
Zobrazit / skrýt řešení

7.3. Aplikace Taylorova vzorce

Pro další úvahy zaveďme následující symboly, které se často v matematické analýze používají.
Definice 7.15.  Nechť jsou funkce, a nechť existuje okolí takové, že pro všechna je . Definujeme
  1. , jestliže  .
  2. , jestliže ; říkáme, že je silně ekvivalentní s  pro .
Poznámka 7.16.
  1. Zápis , (čteme je malé o pro ) říká, že „funkce je nekonečně malá vzhledem k funkci pro ”.
  2. Zápis , říká, že se funkce v okolí bodu „chovají přibližně stejně”.
  3. Má-li funkce  v okolí  bodu ohraničenou derivaci řádu , vyplývá ze vztahu (7.5), že platí

    Lze ukázat, že dokonce stačí pouhá existence vlastní derivace , tj. existence Taylorova mnohočlenu — viz [17, str. 175]). Tedy pro zbytek v Taylorově vzorci dostáváme, že . Tomuto tvaru zbytku se říká Peanův.
Příklad 7.17.  Ukažte, že platí , .
Řešení.  Podle definice je

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 7.18.  Vypočtěte limity

Řešení.  a) Nejprve si rozepíšeme Taylorovy vzorce funkcí a . Podle (7.6) platí:

Dosazením do limity dostáváme

b) Opět si nejprve rozepíšeme Maclaurinovy vzorce funkcí v limitě:

odkud

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 7.19.  V relativistické mechanice je pohybová energie částice definována vztahem

kde je klidová hmotnost částice, rychlost světla a rychlost částice. Ověřte, že je v tomto výrazu pro pohyby malou rychlostí obsažen klasický vzorec

Řešení.  Označme a . Vzorec pro při pohybu malou rychlostí  odvodíme pomocí Taylorova vzorce funkce v bodě . Z binomického rozvoje plyne

Odtud

V dalších členech Taylorova mnohočlenu bude podíl rychlostí vystupovat ve vyšších mocninách, a protože je , lze vyšší mocniny zanedbat. Celkově pro platí

což jsme měli ověřit.
Zobrazit / skrýt řešení


*

Matematici jsou jako Francouzi. Cokoliv jim řeknete, přeloží si do vlastního jazyka, čímž je z toho něco úplně jiného.

(Johann Wolfgang von Goethe)

Předchozí kapitola Zpět na obsah