|
Otázce přerovnávání neabsolutně konvergentní řady se věnuje Věta 3.8.
Věta 3.8 (Riemannova). Nechť řada  konverguje neabsolutně a nechť  je libovolné. Pak existuje takové přerovnání  řady , že  , existuje takové přerovnání  řady , že určitě diverguje a takové přerovnání  , že řada osciluje.
Ačkoliv je tato věta v textu dokázána, připomeňme si myšlenku důkazu. Nejdříve si ale ještě připomeňme následující skutečnost (související s Lemmatem 3.2).
Mějme neabsolutně konvergentní řadu . Potom sestrojíme-li řadu pouze z kladných členů řady , bude tato řada divergovat. Totéž platí pro řadu sestavenou pouze ze záporných členů řady .
Důkaz tohoto tvrzení by byl témeř totožný s důkazem Lemmatu 3.2. Kdyby konvergovala jen jedna z těchto řad, potom by řada divergovala. Pokud by konvergovaly obě tyto řady, pak by řada konvergovala absolutně.
Nyní se ale vraťme k Riemannově větě. Přerovnání řady v konvergentní řadu se součtem  provedeme následovně. Pro jednoduchost předpokládejme, že je nezáporné (pro záporné by byl postup analogický). Začneme nejdříve sčítat kladné členy, dokud součet nepřevýší číslo . Poté přičítáme záporné členy, dokud není součet nižší než . A nyní opět přičítáme kladné členy a tak pořád dokola. To, že součet číslo jednou překročí nám zaručuje již zmíněná divergence řad z kladných (resp. záporných) členů. A protože členy obou těchto řad jdou k nule (což musí, má-li řada konvergovat), budeme číslo "překračovat" stále méně a méně.
Přerovnání v divergentní řadu řešme následovně (pro jednoduchost divergenci k  ). Sčítejme kladné členy řady , dokud nepřekročíme číslo 1. Poté přičtěme jeden záporný člen řady a následně opět kladné členy, dokud nepřekročíme číslo 2, atd. Řada vzniklá tímto způsobem určitě diverguje k .
Způsob přerovnání v oscilující řadu je nyní již zřejmý. Nejdříve sčítáme kladné členy řady , dokud nepřekročíme čislo 1. Poté budeme přičítat záporné členy, až je součet menší než 0. Následně opět přičítáme kladné členy až překročíme 1 a tak stále dokola. Získali jsme oscilující řadu.
Přerovnávání neabsolutně konvergentních alternujících řad si můžete prohlédnout na jednoduchém Java apletu.
| 
Zpět na přehled doplňků