V tomto učebním textu si ukážeme rozvoj funkce do mocninné řady, tzv. Taylorovy řady.
Připomeňme Taylorovu větu z diferenciálního počtu, kdy je funkce vyjádřena ve tvaru polynomu a zbytku: Nechť je funkce, která má derivace až do řádu v uzavřeném intervalu , jehož krajní body jsou čísla a . Pak platí

kde je Taylorův zbytek, pro který platí

Je proto přirozené zavést následující definici:

Definice 1.1.  Nechť funkce má v bodě derivace všech řádů. Mocninnou řadu nazýváme Taylorovou řadou funkce v bodě . Je-li , mluvíme o Maclaurinově řadě, která je tedy tvaru .

Obecně nemusí platit, že součet Taylorovy řady funkce je roven této funkci. Následující dvě věty udávají podmínky, kdy tato rovnost platí.

Věta 1.2.  Nechť funkce má v nějakém bodě derivace všech řádů. Pak platí na intervalu obsahujícím bod právě tehdy, když pro posloupnost Taylorových zbytků platí pro všechna . Důkaz.  Rovnost (1.5) platí na právě tehdy, když pro . Avšak , takže právě tehdy, když na . Zobrazit / skrýt důkaz

Poznámka 1.3.  Dá se ukázat, že lze-li funkci na nějakém intervalu , jehož vnitřním bodem je , rozvést do mocninné řady o středu , pak je takový rozvoj pouze jediný a je současně Taylorovým rozvojem funkce .

Věta 1.4.  Nechť funkce má na otevřeném intervalu derivace všech řádů a nechť posloupnost je stejnoměrně ohraničená na . Pak Taylorova řada funkce v libovolném bodě konverguje na k , tj. platí (1.5). Důkaz.  Podle předpokladu existuje , tak, že pro všechna a všechna . Podle (1.2) je , odkud . Protože řada konverguje pro každé , jak se snadno přesvědčíme např. podílovým kritériem. Tvrzení nyní plyne z Věty 1.2. Zobrazit / skrýt důkaz

Příklad 1.5. (Maclaurinovy řady elementárních funkcí) Řešení.  Ve většině případů byl tvar Maclaurinovy řady nalezen v diferenciálním počtu, viz např. [9] Zbývá ověřit, že součet Maclaurinovy řady dané funkce je právě tato funkce . (1) Je-li , pak pro všechna , takže je-li , , je na . Podle Věty 1.4 konverguje řada (1) k  na . Protože , bylo libovolné, platí tvrzení. (2) Protože , pro platí pro všechna a všechna . Z Věty 1.4 pak plyne tvrzení. (3) Důkaz tvrzení pro funkci je analogické jako pro . (4) VLOZIT Z PREDESLE KAPITOLY a je znázorněn na následujícím obrázku 6.1 (5) Pro funkci vyjádříme Taylorův zbytek v Cauchyově tvaru [9]: Pak platí Je-li , je tvrzení věty zřejmé. Je-li , , pak řada absolutně konverguje, jak se snadno přesvědčíme podílovým kritériem. Platí, že Dále platí , tedy i pro každé . Konečně je . Odtud na intervalu a tvrzení plyne z Věty 1.2. Zobrazit / skrýt řešení

Poznámka 1.6.  Řada se nazývá binomická řada. Dva její speciální případy jsou dobře známé ze střední školy: a) Nechť , kde . Pro je binomický koeficient známé kombinační číslo, pro je . Platí proto což je binomická věta. b) Nechť Platí , a proto což je geometrická řada.

Příklad 1.7.  Rozviňte následující funkce do Maclaurinovy řady a určete jejich obor konvergence: Řešení.  a) Položíme-li , dostaneme funkci . Její rozvoj do binomické řady je na intervalu . Dosazením za dostaneme požadovanou Maclaurinovu řadu b) Derivace dané funkce je , což je součet geometrické řady s kvocientem , tj. platí Podle věty o integraci řady dostaneme pro Vyšetřeme krajní body konvergenčního intervalu . Protože řady a konvergují a funkce je spojitá na , plyne z Abelovy věty (Věta 6.3), že uvedený Maclaurinův rozvoj funkce platí pro . c) Platí Podle Příkladu 1.5 je Proto d) Použijeme Maclaurinův rozvoj funkce pro . Dosazením za dostáváme (viz obr. 6.3) Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 1.8.  Rozložte v Taylorovu řadu následující funkce: Řešení.  a) Platí Dosazením do Taylorovy řady dostaneme na intervalu . b) Postupujeme obdobně jako v předcházejícím případě: pro derivace platí a po dosazení do Taylorovy řady na intervalu . Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 1.9.  Určete Maclaurinovu řadu funkce Řešení.  Řešme nejprve obecnou úlohu: Nechť a předpokládejme, že známe Maclaurinovy rozvoje funkcí ve tvaru a nechť Rozvoj funkce hledáme ve tvaru mocninné řady s neurčitými koeficienty, tj. Ze vztahu pak plyne a tedy Takto obdržíme rovnost mocninných řad a z Poznámky [REF] plyne, že tyto řady musí mít stejné koeficienty. Označme a dosaďme do vztahu Maclaurinovy řady těchto funkcí. Dostaneme Po roznásobení levé strany obdržíme rovnost dvou mocninných řad, které musí mít stejné koeficienty. Porovnejme koeficienty u odpovídajících si mocnin: Po dosazení koeficientů do výrazu dostáváme hledaný rozvoj Zobrazit / skrýt řešení

Příklad 1.10.  Určete součet následujících mocninných řad: Řešení.  a) S využitím věty o záměně derivace a sumace mocninné řady (Důsledek [REF]) můžeme danou řadu napsat ve tvaru Platí proto b) Podle Maclaurinova rozvoje funkce je Nyní určíme součet řady . K tomu upravíme -tý člen řady takto: Proto Protože obě řady , konvergují, je součet řady Zobrazit / skrýt řešení

Historická poznámka. Nejjednodušším příkladem mocninné řady je geometrická řada

Historicky první mocninnou řadu, která není geometrická, objevili indičtí matematici již v 15. století, a to řadu

s jejím důležitým speciálním případem

Bohužel, tento objev nebyl dlouho znám, a tím neovlivnil rozvoj teorie mocninných řad. Teorie mocninných řad byla započata v době, kdy N. Mercator publikoval (1668) řadu

Racionální funkce, např. , lze rozvést pomocí geometrické řady; rozhodující objev učinil I. Newton (1665), když objevil obecnou binomickou řadu. Poté Newton odvodil řadu

odkud pomocí inverze odvodil mocninnou řadu pro .