Diferenční rovnice s Maple - řešené příklady a nápověda
Příklad 1. -y \left( n+1 \right) -y \left( n \right) =0
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}} \left( \frac{1}{2}\,\sqrt {5}+\frac{1}{2} \right) ^{n}+C_{{
2}} \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt {5} \right) ^{n}
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}} \left( \frac{1}{2}\,\sqrt {5}+\frac{1}{2} \right) ^{n
}+C_{{2}} \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}\,\sqrt {5} \right) ^{n}
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení
Partikulární řešení =0
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 2. -7\,y \left( n+1 \right) +6\,y \left( n \right) =n
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}}{6}^{n}+C_{{2}}+n \left( -\frac{1}{10}\,n+{\frac {3}
{50}} \right)
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}}{6}^{n}+C_{{2}}
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení
)
Partikulární řešení =n \left( -\frac{1}{10}\,n+{\frac {3}{50}} \right)
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 3. -3\,y \left( n+1 \right) -4\,y \left( n \right) =
12\,{n}^{2}-2\,n+15
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}}{4}^{n}+C_{{2}} \left( -1 \right) ^{n}-2\,{n
}^{2}+n-3
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}}{4}^{n}+C_{{2}} \left( -1 \right) ^{n}
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení
Partikulární řešení =-2\,{n}^{2}+n-3
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 4. -7\,y \left( n+2 \right) +16\,y \left( n+1
\right) -12\,y \left( n \right) =0
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}}{3}^{n}+C_{{2}}{2}^{n}+C_{{3}}n{2}^{n}
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}}{3}^{n}+C_{{2}}{2}^{n}+C_{{3}}n{2}^{n}
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení
Partikulární řešení
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 5. +y \left( n \right) =\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n
\right) +\cos \left( \pi \,n \right)
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}}\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right) +C_{{2}}
\cos \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right) +\frac{1}{2}\,\cos \left( \pi \,n \right)
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}}\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right) +C_{{
2}}\cos \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right)
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení +S_{{0}}\sin \left( \pi \,n \right)
)
Partikulární řešení =\frac{1}{2}\,\cos \left( \pi \,n \right)
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 6. -y \left( n \right) =-{n}^{2}+2\,n+15
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}}+C_{{2}} \left( -1 \right) ^{n}+n \left( -1/
6\,{n}^{2}+n+{\frac {37}{6}} \right)
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}}+C_{{2}} \left( -1 \right) ^{n}
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení
)
Partikulární řešení =n \left( -\frac{1}{6}\,{n}^{2}+n+{\frac {37}{6}}
\right)
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 7. -y \left( n \right) ={3}^{n}\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi
\,n \right)
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}}-\frac{3}{10}\,{3}^{n}\cos \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n
\right) -\frac{1}{10}\,{3}^{n}\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right)
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}}
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení +{3}^{n}S_{{0}}\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right)
)
Partikulární řešení =-\frac{3}{10}\,{3}^{n}\cos \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n
\right) -\frac{1}{10}\,{3}^{n}\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right)
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 8. +4\,y \left( n \right) = \left( \sqrt {2} \right)
^{n}
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení =C_{{1}}{2}^{n}\sin \left( \frac{1}{2}\,n\pi \right) +C_{{2
}}{2}^{n}\cos \left( \frac{1}{2}\,n\pi \right) +\frac{1}{6}\, \left( \sqrt {2}
\right) ^{n}
)
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice =C_{{1}}{2}^{n}\sin \left( \frac{1}{2}\,n\pi \right)
+C_{{2}}{2}^{n}\cos \left( \frac{1}{2}\,n\pi \right)
)
Předpokládaný tvar partikulární řešení ^{n}R_{{0}}
)
Partikulární řešení =\frac{1}{6}\, \left( \sqrt {2} \right) ^{n}
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Příklad 9. -8\,y \left( n+1 \right) +15\,y \left( n \right) =
{10}^{n} \left( 130\,\sin \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right) + \left( {n}^{2}+
5\,n \right) \cos \left( \frac{1}{2}\,\pi \,n \right) \right)
)
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi MapleVýsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice
Kořeny charakterictické rovnice
Obecné řešení zhomogenizované rovnice
Předpokládaný tvar partikulární řešení
Partikulární řešení
Řešení
Zadání – diferenční rovnice v syntaxi Maple
Výsledek – obecné řešení
Mezivýpočty řešení
Charakterictická rovnice