|
Integrální kritérium má krásnou a jednoduchou geometrickou interpretaci a ukazuje nám souvislost mezi konvergentní číselnou řadou s nezápornými členy a nevlastním integrálem.
Věta 2.6 (Integrální kritérium). Nechť  je funkcí definovanou na intervalu  , která je na tomto intervalu nezáporná a nerostoucí. Nechť  pro každé  . Pak řada  konverguje právě tehdy, když konverguje nevlastní integrál  .
Ilustrujme si podrobněji obě implikace. Nejdříve tvrzení, že konvergence číselné řady implikuje konvergenci nevlastního integrálu.
Na prvním obrázku jsou růžovou barvou znázorněny jednotlivé členy řady . Částečným součtům řady odpovídá součet příslušného počtu členů, tj. součet obsahů příslušných sloupců. Jak je z obrázku patrné, je částečný součet horním součtem příslušným funkci z definice Riemannova integrálu (na odpovídajícím intervalu a při příslušném dělení). Pro libovolné tedy platí
Konvergence číselné řady tedy vynucuje také konvergenci nevlastního integrálu .
Ilustrace opačné implikace je obdobná. Uvažujme číselnou řadu  . Potom částečné součty této řady tvoří dolní součty příslušné funkci (na odpovídajícím intervalu a při příslušném dělení).
Konvergence nevlastního integrálu tedy vynucuje konvergenci řady a odtud i řady  .
| 
Zpět na přehled doplňků