|
Zopakujme nejdříve ještě jednou znění Lemmatu 1.1.
Lemma 1.1 (Cauchyovo-Bolzanovo kritérium konvergence).
Řada  je konvergentní právě tehdy, když posloupnost jejích částečných součtů je Cauchyovská, tj. pro libovloné  existuje  takové, že pro  ,  a libovolné  platí
Rozeberme si případ Cauchyovské posloupnosti podrobněji pomocí následujícího obrázku.
Pro libovolné (tedy i libovolně malé)  najdeme přirozené číslo  takové, že jakékoliv dva částečné součty s indexem alespoň (vyznačeny modrou barvou) mají rozdíl v absolutní hodnotě menší než námi zvolené . V obrázku jsou dva takové rozdíly označeny  a  .
Ve speciálním případě to znamená, že zvolíme-li pevně jeden částečný součet (v obrázku součet  ), budou všechny následující částečné součty ležet v -ovém pásu kolem tohoto částečného součtu (vyplněn růžovou barvou).
Jak již bylo zmíněno dříve, tento pás může být libovolně malý (druhý obrázek znázorňuje situaci při jinak zvoleném ). Z úplnosti  plyne, že limitou této posloupnosti částečných součtů (a tedy i součtem řady), je reálné číslo.
| 
Zpět na přehled doplňků