Kapitola 6

Průběh funkce

Cílem této kapitoly je ukázat, jak se vyšetřuje průběh funkce. Chování funkce popíšeme pomocí monotonie funkce na intervalu, extrémů funkcí, konvexnosti a konkávnosti funkce na intervalu a pomocí pojmů inflexní body a asymptoty funkce.

6.1. Podmínky monotonie funkce

Věta 6.1.  Nechť má funkce na otevřeném intervalu vlastní derivaci. Pak platí:
  1. Funkce je neklesající na právě tehdy, když na .
  2. Funkce je rostoucí na právě tehdy, když na , přičemž rovnost neplatí na žádném podintervalu intervalu .
Analogická tvrzení platí pro nerostoucí a klesající funkce.
Důkaz. 
  1. Nechť je neklesající na . Je-li libovolný bod, pak pro , , je a pro , je . Proto , odkud .
    Naopak, nechť na a , . Podle Lagrangeovy věty existuje tak, že , tj. a je neklesající na .
  2. Nechť je rostoucí. Pak podle první části je . Rovnost přitom nemůže platit na žádném podintervalu intervalu , neboť pak by zde byla funkce  podle důsledku 5.27 konstantní, což je spor s tím, že je rostoucí na .
    Naopak, nechť , přičemž rovnost neplatí na žádném podintervalu intervalu . Podle první části je funkce neklesající. Kdyby nebyla rostoucí na , existoval by podinterval intervalu , na němž by byla konstantní, takže by zde platilo , což je spor s předpokladem.
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 6.2.  Platnost předchozí věty lze rozšířit na interval libovolného typu. Stačí předpokládat, že je spojitá na a existuje uvnitř . Věta dokonce platí, i když má někde nevlastní derivaci, pokud se předpokládá, že je spojitá.
Příklad 6.3.  Dokažte, že následující funkce jsou rostoucí na :

Řešení. 
  1. Platí pro každé , přičemž rovnost neplatí na žádném podintervalu intervalu ( právě pro , ). Podle druhé části věty 6.1 je tudíž rostoucí.
  2. Funkce je spojitá na . Dále platí pro a . Podle poznámky 6.2 je proto rostoucí.
Zobrazit / skrýt řešení
Z věty 6.1 okamžitě plyne jednoduchá postačující podmínka pro monotonii funkce na intervalu.
Důsledek 6.4.  Nechť má konečnou derivaci na otevřeném intervalu .
  1. Je-li pro každé , pak je rostoucí na .
  2. Je-li pro každé , pak je klesající na .
Příklad 6.5.  Najděte intervaly, na nichž jsou ryze monotonní funkce:

Řešení.  Použijeme důsledek 6.4. Růst a klesání znázorníme pomocí šipek a .
  1. Platí pro každé . Tedy

  2. Platí

    pro všechna . Tedy

    Všimněte si, že na celém není klesající (nejedná se o interval). Např. a .
  3. Platí pro každé . Tedy právě tehdy, když , tj. když nebo , . Funkce je klesající na každém intervalu a je rostoucí na každém intervalu , .
  4. Funkce je spojitá na celém svém definičním oboru . Platí

    pro každé . Tedy funkce je klesající na .
  5. Platí na . Znaménko derivace závisí pouze na znaménku mnohočlenu . Tedy

Zobrazit / skrýt řešení

6.2. Extrémy

Rozlišujeme lokální extrémy, kdy vyšetřujeme největší a nejmenší hodnoty funkce v „malém” (předem neurčeném) okolí posuzovaného bodu, a globální extrémy, kdy hledáme extremální hodnoty na předem dané množině.
Definice 6.6. Řekneme, že funkce má v bodě :
  • lokální maximum, existuje-li tak, že pro každé je ,
  • lokální minimum, existuje-li tak, že pro každé je ,
  • ostré lokální maximum, existuje-li tak, že pro každé je ,
  • ostré lokální minimum, existuje-li tak, že pro každé je .

Lokální maxima a minima nazýváme souhrnně lokální extrémy.
Funkce na obr. 6.1a) má ostrá lokální maxima v bodech a a ostré lokální minimum v bodě . Funkce na obr. 6.1b) má neostrá lokální minima v bodech a  a ostré lokální maximum v bodě . Kromě toho má v každém bodě současně neostré lokální minimum i maximum.

Poznámka 6.7.
  1. Lokální maximum a minimum jsou lokální vlastnosti — závisí pouze na hodnotách funkce v nějakém okolí posuzovaného bodu.
  2. Má-li funkce v bodě lokální extrém, pak existuje okolí , kde je definovaná, tedy .
Důležitým nástrojem pro vyšetřování extrémů funkcí je derivace.
Věta 6.8.  Nechť má funkce v bodě lokální extrém a nechť existuje. Pak .
Důkaz.  Kdyby , pak podle lemmatu 5.22 by musela být funkce v rostoucí, což je spor. Z obdobných důvodů nemůže být , proto .
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 6.9.
  1. Opačně věta neplatí. Příklad: Funkce má v derivaci , ale nemá v tomto bodě extrém (je zde rostoucí).
  2. Funkce může mít extrém v bodech, kde (tzv. stacionární body, tečna v nich je rovnoběžná s osou ), nebo v bodech, kde neexistuje.
Funkce na obr. 6.1c) má stacionární body a , ale pouze v  je lokální extrém (ostré maximum). V bodě je ostré lokální minimum, ale derivace (ani nevlastní) zde neexistuje.
Následující dvě věty udávají postačující podmínky pro existenci lokálního extrému.
Věta 6.10.  Nechť je funkce spojitá v bodě a má vlastní derivaci v nějakém ryzím okolí . Jestliže pro všechna , , je a pro všechna , , je , pak má v bodě ostré lokální maximum. (Obdobné tvrzení platí pro ostré lokální minimum).
Důkaz.  Tvrzení bezprostředně plyne z věty 6.1 a poznámky 6.2.
Zobrazit / skrýt důkaz
Všimněme si, že předchozí věta nepředpokládá existenci derivaci v bodě .
Poznámka 6.11.  Je-li v předchozí větě stacionární bod (tedy existuje), věta jednoduše řečeno říká: Mění-li derivace při přechodu přes stacionární bod znaménko, je zde lokální extrém. Navíc z věty 6.1 plyne, že pokud derivace znaménko nemění (je pořád kladná nebo pořád záporná v jistém ryzím okolí), není ve stacionárním bodě  extrém.
Příklad 6.12.  Najděte všechny lokální extrémy funkce .
Řešení.  Funkce je spojitá na . Platí pro a neexistuje. Extrém tedy může být jen v bodě . Znázorníme znaménko :

Podle předcházející věty má funkce v bodě lokální minimum.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 6.13.  Zjistěte, zda funkce

má v bodě limitu, je v tomto bodě spojitá a má zde lokální extrém.
Řešení.  Limita v bodě existuje a je rovna podle příkladu 4.25. Funkce není v bodě spojitá, protože . Z definice limity vyplývá, že existuje okolí takové, že funkce je na větší než . Proto má funkce v bodě lokální minimum. Pozor, nesmíme se nechat zmást tím, že v tomto bodě funkce nemá derivaci, ani zde není spojitá!
Zobrazit / skrýt řešení
Věta 6.14.  Nechť . Je-li , pak má funkce v bodě  ostré lokální minimum. Je-li , pak má v bodě ostré lokální maximum.
Důkaz.  Provedeme pro případ ; případ je analogický. Z existence plyne, že existuje vlastní v jistém okolí , a tudíž je zde spojitá. Podle lemmatu 5.22 je rostoucí v bodě . Protože je , existuje okolí takové, že pro , , je a pro , , je . Z věty 6.10 nyní plyne tvrzení.
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 6.15.  Předchozí větu lze indukcí snadno zobecnit. Nechť a pro některé , .
  1. Je-li  sudé, je v bodě  ostrý lokální extrém funkce . Pro je to minimum, pro maximum.
  2. Je-li  liché, pro je rostoucí v  a pro je zde klesající. V bodě tedy není lokální extrém funkce .
Předchozí poznámku lze použít např. na funkce a . Obě mají jediný stacionární bod . Přitom , a extrém zde není ( roste) a podobně , a extrém zde je (ostré lokální minimum) — srovnejte obr. 3.8c) a 3.8a). U složitějších funkcí je ale obvykle výhodnější (pokud je to možné) posoudit, zda první derivace mění znaménko, než počítat vyšší derivace.
Definice 6.16.  Buď funkce definovaná na množině . Existuje-li na největší (nejmenší) hodnota funkce , nazýváme ji absolutním maximem (absolutním minimem) funkce na . Absolutní minima a maxima souhrnně nazýváme absolutními extrémy.
Jestliže tedy a platí pro všechna , říkáme, že funkce  má na  absolutní maximum v bodě . Podobně pro absolutní minimum.
Místo přívlastku absolutní se také používá globální. Řekneme-li v dalším textu „absolutní extrém” a neudáme-li množinu, máme na mysli .
Poznámka 6.17.
  1. Funkce může nabývat týž absolutní extrém ve více bodech. Např. funkce , , má absolutní maximum rovno a nabývá ho v nekonečně mnoha bodech , , a absolutní minimum rovno a nabývá ho v nekonečně mnoha bodech , .
  2. Funkce nemusí mít na dané množině žádný absolutní extrém. Např. funkce , nabývá libovolně velkých a libovolně malých hodnot. Stejná funkce nemá absolutní extrémy ani na množině . Je tam sice ohraničená, ale příslušná množina hodnot nemá ani maximum, ani minimum.
  3. Důležitou postačující podmínku existence absolutních extrémů udává Weierstrassova věta 4.33. Je jí spojitost funkce na ohraničeném uzavřeném intervalu. Pokud nejsou některé její předpoklady splněny, nemusí absolutní extrémy existovat.
  4. Obecně nemáme žádné jednoduché podmínky, jak zajistit existenci absolutních extrémů. Nicméně je jasné, že pokud je funkce definovaná v okolí bodu  a má na něm absolutní extrém právě v bodě , má v bodě  i lokální extrém stejného typu. Omezíme-li se na interval, plyne odtud, že funkce nabývá svých absolutních extrémů buď v bodech lokálních extrémů, nebo v krajních bodech uvažovaného intervalu.
  5. Pokud máme zajištěno, že existují absolutní extrémy funkce  definované na intervalu, vyplývá z předchozího bodu následující postup pro jejich nalezení:
    • Najdeme stacionární body a body, v nichž neexistuje první derivace.
    • Vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech.
    • Vypočteme funkční hodnoty v krajních bodech intervalu (pokud patří do ).
    • Ze všech takto získaných funkčních hodnot vybereme největší a nejmenší (je jich zpravidla konečný počet). To bude absolutní maximum a minimum.
    Správnost postupu vyplývá z toho, že někde absolutní extrémy být musí a nemohou být jinde než ve vytipovaných bodech.
Příklad 6.18.  Určete absolutní maximum a minimum funkce na intervalu .
Řešení.  Funkce je spojitá na ohraničeném uzavřeném intervalu, takže podle Weierstrassovy věty absolutní extrémy existují. Platí  . Stacionární body funkce určíme z rovnice , odkud , tj.  . V bodě vlastní derivace neexistuje, ale to je současně krajní bod. Nyní určíme hodnoty , , . Absolutní maximum má funkce v krajních bodech a , absolutní minimum v bodě  .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 6.19.  Určete počet reálných kořenů rovnice .
Řešení.  Označme . Určit počet reálných kořenů dané rovnice znamená zjistit, kolikrát protíná graf funkce osu . Výpočet založíme na důsledku 4.36 Cauchyovy-Bolzanovy věty. Určíme krajní body intervalů tak, aby uvnitř jednotlivých intervalů byla funkce  ryze monotonní. Podle znamének v krajních bodech bude mít rovnice uvnitř každého takového intervalu buď jediný kořen, nebo tam kořen vůbec nebude.
Vyšetříme lokální extrémy funkce : platí . Proto stacionárními body funkce jsou body , které jsou lokálními extrémy, jak plyne z věty 6.10:

Funkční hodnoty v lokálních extrémech jsou , . Přitom a . Proto funkce  protíná osu pouze jednou a původní rovnice má jeden reálný kořen.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 6.20.  Kladné číslo rozložte na součet dvou nezáporných sčítanců tak, aby jejich součin byl maximální.
Řešení.  Označme hledaný rozklad a požadovaný maximální součin. Pak lze vyjádřit jako funkci jedné proměnné , , a daná úloha se redukuje na hledání absolutního maxima funkce . Protože funkce  je spojitá na ohraničeném uzavřeném intervalu, podle Weierstrassovy věty absolutní maximum existuje. Platí , právě když . Je , , . Proto hledaný rozklad je .
Zobrazit / skrýt řešení

6.3. Konvexnost, konkávnost, inflexní body

Další globální vlastností funkce je pojem konvexnosti a konkávnosti popisující zakřivení grafu funkce.
Definice 6.21.  Řekneme, že funkce je konvexní na intervalu , jestliže pro libovolné tři body takové, že , platí

Řekneme, že funkce je konkávní na intervalu , jestliže pro libovolné tři body takové, že , platí

Pokud v definici nahradíme neostré nerovnosti ostrými, dostáváme definice pojmů ostré konvexnosti a ostré konkávnosti na intervalu .
Objasněme předchozí definici. Její geometrický význam znázorňuje obr. 6.2a). Přímka spojující body grafu a má vyjádření

Definice říká, že jestliže pro každé tři body z intervalu je hodnota této lineární funkce v bodě větší nebo rovna než funkční hodnota funkce v bodě , tj. , pak je funkce konvexní na . Pro funkci konkávní na analogicky musí být pro každé tři body z intervalu .

Ekvivalentní zápis nerovnosti (1) dostaneme tak, že popíšeme bod parametrickou rovnicí jako bod úsečky spojující body a . Označme . Pak a nerovnost (1) má tvar

Označíme-li a , platí , a předchozí nerovnost lze napsat takto:

Nerovnost triviálně platí i pro a resp. naopak a také pro .
Poznámka 6.22.  Snadno vidíme, že je-li funkce konvexní na intervalu , pak funkce je konkávní na intervalu  a naopak. Proto se v dalším výkladu omezíme ve formulacích většinou na konvexní funkce.
Než uvedeme ekvivalentní definice konvexnosti, připomeneme si pojem konvexní množiny v rovině, známý ze středoškolské geometrie především v souvislosti s mnohoúhelníky a úhly. Množina  se nazývá konvexní, jestliže s každými dvěma body i celá úsečka leží v . Jestliže každá z uvažovaných úseček leží celá (s případnou výjimkou krajních bodů ) uvnitř, nazývá se ostře konvexní. Příkladem konvexních množin jsou konvexní mnohoúhelníky, kruh, vnitřek elipsy, polorovina, kvadrant, celá rovina atd.

Dále budeme potřebovat následující lemma.
Lemma 6.23.  Nechť funkce je definovaná na intervalu  a jsou libovolné tři body z . Pak následující tři nerovnosti jsou ekvivalentní:

Důkaz.  Ukážeme např. rovnocennost prvních dvou nerovností. Pro ostatní je důkaz obdobný. Z (6.3a) postupně dostaneme

z čehož dostáváme nerovnost (6.3b) Protože úpravy byly ekvivalentní, lze postup obrátit a nerovnosti jsou ekvivalentní.
Zobrazit / skrýt důkaz
Geometrický význam předchozího lemmatu je znázorněn na obr. 6.2b). Body , a určují tři přímky , a . Vztahy (6.3) vyjadřují nerovnosti mezi jejich směrnicemi.
Definice 6.24.  Nechť je funkce s definičním oborem . Nadgrafem funkce rozumíme rovinnou množinu .
Nyní již můžeme zformulovat ekvivalentní definice konvexnosti.
Věta 6.25.  Nechť funkce je definovaná na intervalu . Pak jsou následující vlastnosti ekvivalentní:
  1. Funkce je konvexní na .
  2. Pro libovolné různé body a libovolná čísla taková, že , platí nerovnost

  3. Pro libovolné tři body ležící v platí některá z nerovností \eqref{r6.3}.
  4. Nadgraf funkce je konvexní množina.
Obdobná věta platí pro ostře konvexní funkce, nahradíme-li všechny neostré nerovnosti ostrými a bude-li v (d) ostře konvexní množina místo konvexní.
Důkaz.  Vlastnosti (a) a (b) jsou ekvivalentní, protože nerovnost (3) odpovídá nerovnosti  (2) (pouze se přeznačilo na ), o níž jsme ukázali, že je jen jiným zápisem nerovnosti (1).

(a) (c)
Protože nerovnosti (6.3) jsou ekvivalentní, nechť platí např. druhá z nich. Její úpravou dostáváme

a proto podle definice 6.21 je konvexní na . Použité úpravy jsou ekvivalentní, takže platí i opačné tvrzení.

(a) (d)
Předpokládejme, že pro , platí . Je-li , je tvrzení zřejmé. Nechť tedy např. . Pak a . Nechť je funkce, jejímž grafem je přímka  procházející body a , a je funkce, jejímž grafem je přímka  procházející body a — viz obr. 6.2c). Nechť , , je libovolný vnitřní bod úsečky . Ukážeme, že , tedy že .
Splývá-li a , je tvrzení zřejmé. Nechť tedy současně neplatí a . Pak je dokonce . Připusťme, že pro některé je . Platí

Odtud dostaneme

Levá strana poslední nerovnosti je nezáporná a pravá nekladná, takže obě musí být nulové. To znamená, že a , což je spor.

(d) (a)
Protože úsečka spojující body a leží v , platí pro , kde má stejný význam jako v předchozí části důkazu. Tedy

kde . Protože již víme, že (a) (c), je funkce  konvexní.
Důkaz pro ostře konvexní funkci je analogický.
Zobrazit / skrýt důkaz
Konvexní a konkávní funkce mají mnoho důležitých vlastností, týkajících se spojitosti, existence jednostranných derivace, lokálních minim a pod. Řada takových výsledků je dokázána v dodatku v paragrafu D.3.
V dalším textu budeme vyšetřovat konvexní a konkávní funkce za předpokladu, že mají derivaci.
Věta 6.26.  Nechť má vlastní derivaci na otevřeném intervalu . Pak je je konvexní (ostře konvexní) na právě tehdy, když je funkce je neklesající (rostoucí) na . Analogické tvrzení platí pro konkávní (ostře konkávní) na a nerostoucí (klesající) na .
Důkaz.  „”
Zvolme libovolně , . Pak podle lemmatu 6.23 platí

Provedeme-li v levém zlomku této nerovnosti limitní přechod pro a v pravém zlomku limitní přechod pro (a uvědomíme-li si, že podle předpokladu existují derivace a ) dostáváme, že , což znamená, že funkce je neklesající na .
„”
Nechť je nyní neklesající na a nechť jsou libovolné tři body z intervalu . Podle lemmatu 6.23 stačí ukázat, že

Funkce splňuje na intervalech a předpoklady Lagrangeovy věty, tj. existují body a takové, že

Jelikož a neklesající, platí a tvrzení je dokázáno. Pro ostře konvexní funkce je důkaz analogický.
Zobrazit / skrýt důkaz
Z vět 6.26 a 6.1 plyne jednoduché kritérium konvexnosti a konkávnosti.
Důsledek 6.27.  Nechť je otevřený interval a má vlastní druhou derivaci na .
  1. Je-li pro každé , pak je ostře konvexní na .
  2. Je-li pro každé , pak je ostře konkávní na .
Věta 6.28. 
Nechť funkce má vlastní derivaci na intervalu . Pak je konvexní (konkávní) na právě tehdy, když pro každé dva různé body , platí:


Obdobný výsledek platí pro funkce ryze konvexní a ryze konkávní na intervalu (nerovnosti v tvrzení jsou ostré).
Důkaz. Důkaz provedeme pro případ konvexní funkce, pro konkávní by byl analogický. Geometrický význam (graf konvexní funkce musí ležet nad tečnou v libovolném bodě grafu) je znázorněn na obr. 6.3.

„”
Nechť je konvexní na intervalu . Podle věty 6.26 je funkce neklesající na . Mějme tedy dány dva různé body . Podle Lagrangeovy věty existuje bod mezi body tak, že

odtud odečtením výrazu od obou stran rovnosti dostáváme

Funkce je neklesající na , tj. , takže je buď , nebo má výraz stejné znaménko jako a to má stejné znaménko jako . Proto je , a tedy

„”
Nechť je pro libovolné z intervalu splněna nerovnost

Pak platí

Odtud dostáváme, že pro libovolné tři body z intervalu je

a podle věty 6.25 je konvexní na .
Zobrazit / skrýt důkaz
V elementárních kurzech se někdy zavádí pojem konvexní funkce jen pro funkce mající první derivaci. Pak se často pro definici používá ekvivalentní formulace z předchozí věty.

Funkce často nebývá konvexní nebo konkávní na celém svém definičním oboru. Následující definice se týká bodů, v nichž dochází ke změně konvexnosti na konkávnost nebo naopak. S podobnou situací jsme se setkali v předchozím oddílu v souvislosti se změnou typu monotonie. Tam taková změna (rostoucí funkce na klesající nebo naopak) vedla na lokální extrémy.
Definice 6.29. 
Nechť má funkce derivaci v bodě . Je-li tato derivace nevlastní, předpokládáme navíc, že je spojitá v bodě .
Řekneme, že je inflexním bodem funkce , jestliže existuje okolí takové, že funkce je ryze konkávní na intervalu a je ryze konvexní na intervalu anebo naopak — viz obr. 6.4. Stručně říkáme, že funkce  má v bodě  inflexi.
Následující tvrzení udávají nutné resp. postačující podmínky pro to, aby funkce měla inflexi. Všimněte si analogie s vyšetřováním lokálních extrémů — viz věty 6.8, 6.10 a 6.14. Vše se o jednu derivaci „posune”.
Věta 6.30. 
  • Nechť je inflexní bod a nechť existuje . Pak .
  • Nechť a existuje okolí takové, že platí pro každé a pro každé , nebo naopak. Pak je inflexním bodem funkce .
  • Nechť a . Pak je inflexním bodem funkce .
    • Důkaz. 
    1. Z existence plyne, že je konečná v jistém okolí bodu . Z definice inflexního bodu a věty 6.26 plyne existence okolí takového, že na intervalu je rostoucí a na intervalu je klesající, nebo naopak. Nechť nastane např. první možnost. Protože je konvexní na , platí pro libovolnou trojici z tohoto intervalu nerovnost (6.3b). Jelikož je spojitá v bodě  (existuje konečná ), dostaneme limitním přechodem , že nerovnost (6.3b) platí i na intervalu . Funkce  je tudíž na tomto intervalu konvexní, a proto je zde rostoucí. Obdobně se ukáže, že je klesající na . Tedy funkce  má v bodě  lokální extrém (dokonce ostrý). Podle věty 6.8 tudíž musí být .
    2. Z existence plyne, že je konečná. Dále podle důsledku 6.27 je konkávní v levém okolí bodu  a konvexní v jeho pravém okolí nebo naopak, což dokazuje tvrzení.
    3. Z existence plyne, že je konečná v jistém okolí bodu . Podle lemmatu 5.22 je v bodě  buď rostoucí, nebo klesající. V nějakém okolí je tedy pro a pro nebo naopak. Tvrzení nyní plyne z bodu 2.
    Zobrazit / skrýt důkaz
    Poznamenejme, že z předchozí věty plyne, že funkce může mít inflexi pouze v bodech, kde její druhá derivace neexistuje, nebo je rovna nule.
    Poznámka 6.31.  Předchozí větu lze indukcí snadno zobecnit. Nechť a pro některé , .
    1. Je-li  liché, je inflexním bodem funkce .
    2. Je-li  sudé, je v jistém okolí ostře konvexní pro a ostře konkávní pro . V bodě  tedy funkce  nemá inflexi.
    Všimněte si, že pokud je i , doplňuje se předchozí poznámka s poznámkou 6.15. Podobně jako tam lze použití ilustrovat na funkcích a . Platí , , takže bod  je inflexním bodem funkce  (a ta roste dokonce na ) a podobně , , takže bod  není inflexním bodem funkce  (a ta je ostře konvexní dokonce na ) — srovnejte obr. 3.8c) a [3.8a). Znovu připomeňme, že u složitějších funkcí je obvykle výhodnější posoudit, zda druhá derivace mění znaménko, než počítat vyšší derivace.
    Poznámka 6.32.  Inflexní body se někdy definují odlišně — přehled viz [17, str. 205]. Jedna z častých variant je tato: Bod  se nazývá inflexním bodem funkce , jestliže existuje vlastní derivace  a v jistém okolí platí pro každé a pro každé , nebo naopak. Tedy v levém okolí leží graf funkce pod tečnou v bodě  a v pravém okolí nad touto tečnou nebo naopak. Lze ukázat, že pokud je inflexním bodem ve smyslu definice 6.29 a je vlastní, je inflexním bodem i v právě zmíněném smyslu — viz příklad D.37 dodatku. Opak ale neplatí (např. funkce v bodě ; přitom je Dirichletova funkce).

    6.4. Asymptoty funkce

    Definice 6.33.  Buď . Přímka se nazývá asymptotou bez směrnice funkce , jestliže má v alespoň jednu jednostrannou limitu nevlastní, tj. nebo
    Přímka , , se nazývá asymptotou se směrnicí funkce , jestliže platí nebo .
    Příklady asymptot bez směrnice jsme viděli např. na obr. 3.9. Uvědomte si, že tyto asymptoty mohou být pouze v bodech, kde není funkce spojitá. Asymptoty se směrnicí jsou znázorněny na obr. 6.5. V případě asymptoty se směrnicí říkáme, že přímka je asymptotou funkce pro „jdoucí do mínus resp. plus nekonečna”.

    Věta 6.34.  Přímka je asymptotou funkce pro právě tehdy, když

    Analogické tvrzení platí pro .
    Důkaz.  Z definice plyne, že přímka je asymptotou funkce , právě když platí . Odtud plyne, že , a tudíž nutně .
    Zobrazit / skrýt důkaz
    Důsledek 6.35.  Přímka je asymptotou funkce pro právě tehdy, když . Analogické tvrzení platí pro .
    Příklad 6.36.  Určete asymptoty funkce

    Řešení. 
    1. Funkce je spojitá na  s výjimkou bodu , kde není definovaná. S využitím poznámky 4.14 určíme limitu v tomto bodě:

      Proto má daná funkce jednu asymptotu bez směrnice, kterou je přímka .
      Hledejme nyní asymptoty se směrnicí. Podle věty 6.34 vypočteme následující limity:

      Asymptotou pro je přímka . Protože předchozí výpočet je zřejmě platný i pro , je tato přímka asymptotou i pro .
    2. Označme zadanou funkci . Nejprve rozložíme polynom ve jmenovateli zlomku na součin: . Jedinými body, kde může mít funkce asymptoty bez směrnice, jsou body a , neboť v ostatních bodech je funkce spojitá. Limity v těchto bodech jsou:

      Podle věty 4.16 o limitě složené funkce dostaneme:

      V každém bodě je jedna jednostranná limita nevlastní, takže přímky a jsou asymptotami bez směrnice dané funkce.
      Nyní hledejme asymptoty se směrnicí. S použitím důsledku 6.35 dostaneme

      Proto je přímka asymptotou se směrnicí pro .
    3. Funkce je spojitá na , proto jediným bodem, ve kterém by mohla mít asymptotu bez směrnice, je bod . Jednostranné limity v tomto bodě jsou:

      Proto funkce nemá žádné asymptoty bez směrnice. Nyní budeme hledat asymptoty se směrnicí. S použitím důsledku 6.35 dostaneme

      Tedy funkce má asymptotu se směrnicí pro .
    Zobrazit / skrýt řešení

    6.5. Průběh funkce — shrnutí

    Při vyšetřování průběhu funkce postupujeme takto:
    1. Stanovíme , zda je funkce případně sudá, lichá nebo periodická. Najdeme body nespojitosti a rozhodneme o jejich druhu. Určíme nulové body funkce a intervaly, kde je kladná a kde záporná.
    2. Vypočítáme a podle jejího znaménka určíme:
      • intervaly, kde je rostoucí (z podmínky ),
      • intervaly, kde je klesající (z podmínky ),
      • lokální extrémy (podle změny znaménka ).
    3. Vypočítáme a podle jejího znaménka určíme:
      • intervaly, kde je konvexní (z podmínky ),
      • intervaly, kde je konkávní (z podmínky ),
      • inflexní body (podle změny znaménka ).
    4. Určíme asymptoty funkce .
    5. Vypočítáme funkční hodnoty ve významných bodech (lokální extrémy, inflexní body atd.).
    6. Nakreslíme graf funkce.
    Příklad 6.37.  Vyšetřete průběh funkce

    Řešení.
    1. Definiční obor . Platí , proto je daná funkce lichá a vlastnosti musí být jistým způsobem „symetrické”. Nulové body funkce určíme z rovnice , odkud dostáváme . Vyšetříme znaménko funkce:

    2. Určíme první derivaci:

      Odtud zjistíme stacionární body funkce:

      Snadno zjistíme znaménko první derivace na jednotlivých intervalech:

      Funkce nabývá lokálního minima v bodě a lokálního maxima v bodě .
    3. Druhá derivace je

      Určíme nulové body druhé derivace, protože pouze v nich mohou být inflexní body:

      Její znaménko je:

    4. Pro určení asymptot funkce počítejme limity

      Odtud vidíme, že přímka je asymptotou bez směrnice a přímka je asymptotou pro .
    5. Spočítáme hodnoty funkce ve významných bodech (extrémy, inflexní bod):

    6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.6. Funkce je lichá, proto je její graf souměrný podle počátku. (Měřítko na ose  je dvakrát větší než na ose .)
    Zobrazit / skrýt řešení

    6.6. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce

    Příklad 6.38.  Vyšetřete průběh funkce

    Řešení.
    1. Definiční obor dané funkce je . Dále platí

      proto je funkce lichá a její vlastnosti budou „symetrické”.
      Pokusíme se určit znaménko funkčních hodnot. Rovnici však nedokážeme řešit. Jeden kořen je jasný — . Protože funkce má v bodě derivaci rovnu  a funkce má derivaci , lze z grafů těchto funkcí odhadnout, že existuje jediné číslo  takové, že v  má naše funkce kořeny. Přesněji to uvidíme z výsledného grafu. Tedy:

    2. Počítejme první derivaci:

      Odtud dostáváme stacionární body a znaménko první derivace na jednotlivých intervalech:

      Vidíme, že funkce má v bodě lokální extrém, a to lokální minimum; symetricky v bodě má lokální maximum.
    3. Vypočteme druhou derivaci

      odkud právě tehdy, když . Určíme znaménko druhé derivace:

    4. Funkce je spojitá na celém , nemá proto žádné asymptoty bez směrnice. Vyšetříme, zda má asymptoty se směrnicí:

      Asymptotami funkce jsou tedy přímky pro a pro .
    5. Spočtěme funkční hodnoty funkce ve významných bodech:

    6. Nakreslíme graf funkce, viz obr. 6.7.
    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.39.  Vyšetřete průběh funkce

    Řešení.
    1. Nejprve určíme definiční obor. Funkce je definována pouze pro hodnoty , proto musí platit . V příkladu 1.31 a) jsme ukázali, že tato nerovnost platí pro všechna , tj. . Funkce  je všude spojitá.
      Nyní vyšetříme, zda je funkce  sudá nebo lichá:

      Funkce je lichá, a proto jsou její vlastnosti opět „symetrické”. Nulové body funkce jsou

      tj. jediným nulovým bodem je . Vzhledem k průběhu funkce arkussinus platí:

    2. Počítejme první derivaci funkce. Je nutné si uvědomit, že funkce má derivaci jen pro a v bodech existují pouze jednostranné nevlastní derivace .

      Odtud pro je

      a pro je

      (Při výpočtu jsme použili rovnosti pro libovolné .) V bodech existují pouze jednostranné derivace. S použitím cvičení 9 z kapitoly 5 dostaneme:

      Body jsou tedy tzv. úhlové body.
      Dále určíme znaménko první derivace na jednotlivých podintervalech:

      Odtud podle věty 6.10 nahlédneme, že v bodě nabývá funkce lokálního maxima (přestože v tomto bodě neexistuje derivace!); symetricky pak v bodě nabývá lokálního minima.
    3. Výpočet druhé derivace provedeme na jednotlivých podintervalech:
      Pro je

      pro je

      Nulový bod druhé derivace je tedy pouze  a jen tam může být inflexe. Určíme znaménko a intervaly, kde je funkce konvexní a kde konkávní.

      V bodech inflexe není, protože v nich neexistuje první derivace.
    4. Funkce je spojitá na celém , zjevně tedy nemá žádné asymptoty bez směrnice. Vyšetříme, zda má asymptotu se směrnicí pro . Platí

      přičemž jsme v posledním kroku použili větu o limitě složené funkce (). Přímka je asymptotou dané funkce pro .
    5. Určíme funkční hodnoty ve významných bodech

    6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.8.
    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.40.  Vyšetřete průběh funkce .
    Řešení.
    1. Definiční obor je . Dále snadno určíme nulové body funkce:

      U třetí odmocniny je znaménko funkce stejné jako znaménko výrazu pod odmocninou:

      Protože , funkce není ani sudá. ani lichá.
    2. Funkce má konečnou derivaci pouze pro . Proto pro platí

      odkud plyne právě tehdy, když . Dále vyšetříme znaménko derivace:

      Funkce je na celém klesající a nemá tudíž lokální extrém ve svém stacionárním bodě .
      V bodě s pomocí cvičení 9 z kapitoly 5 určíme derivaci v bodě :

    3. Pro je druhá derivace

      odkud plyne, že právě tehdy, když . Znázorníme znaménko druhé derivace:

      Funkce má inflexní body a .
    4. Funkce je spojitá na celém , proto nemá žádné asymptoty bez směrnice. Počítejme asymptoty se směrnicí:

      Tedy přímka je asymptotou funkce pro .
    5. Spočítáme funkční hodnoty ve významných bodech: ,    .
    6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.9.
    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.41.  Vyšetřete průběh funkce

    Řešení.
    1. Je . Protože

      funkce není ani sudá, ani lichá. Dále vidíme, že na celém . Funkce je kladná pro a záporná pro :

    2. Vypočteme první derivaci:

      Určení znaménka derivace nelze provést klasickým způsobem, musíme použít menší úvahu.
      • Ze znalosti funkce jednoduše zjistíme, že

      • S použitím výsledku příkladu 1.31 a) dále určíme, že

      • Z těchto úvah již snadno vyplývá, že

      Takže funkce nemá žádný stacionární bod a je na celém rostoucí:

    3. Vypočteme druhou derivaci:

      odkud vidíme, že pro všechna :

      Funkce je na obou intervalech definičního oboru konvexní.
    4. Spočtěme jednostranné limity funkce v bodě :

      (Při výpočtu jsme použili větu o limitě složené funkce, kde .) Proto funkce nemá v bodě asymptotu bez směrnice. Vyšetříme asymptoty se směrnicí:

      Přímka je asymptotou funkce pro .

    5. Nakreslíme graf — viz obr. 6.10.
    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.42.  Vyšetřete průběh funkce

    Řešení.
    1. Určíme definiční obor dané funkce. Funkce je definovaná pouze pro hodnoty , proto musí být . Zřejmě platí

      Odtud plyne

      Dále se nabízí ověřit, zda je daná funkce periodická. Jelikož funkce je periodická s periodou , platí , odkud , takže je funkce  periodická s periodou . Proto stačí se omezit při vyšetřování průběhu pouze na jeden z intervalů tvořících , např. . Ověřme sudost/lichost funkce. Platí

      neboť funkce je sudá. Odtud je vidět, že je daná funkce sudá a její graf bude osově souměrný podle osy . Vyšetříme znaménko funkce . Víme, že právě tehdy, když a dále pro všechna . Odtud snadno plyne

      Tedy

    2. Počítejme první derivaci:

      Odtud plyne právě tehdy, když . Znaménko první derivace je

      Vidíme, že funkce má v bodě lokální maximum.
    3. Počítejme druhou derivaci:

      Tedy:

      Funkce je na celém intervalu konkávní.

    4. Jelikož funkce není definovaná na žádné polopřímce ani , nemá smysl vyšetřovat asymptoty pro . Spočítejme limity v krajních bodech vyšetřovaného intervalu:

      Analogický výsledek vychází pro limitu , takže funkce má asymptoty bez směrnice v bodech a  .

    5. Spočítáme funkční hodnoty ve významných bodech: .

    6. Nakreslíme graf — viz obr. 6.11.
    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.43.  Vyšetřete průběh funkce

    Řešení.
    1. Jedná se o racionální funkci, která není definovaná pouze v kořenech jmenovatele. Tedy . Funkce je spojitá na . Protože

      je funkce je lichá, její graf bude středově souměrný vzhledem k počátku.
      Dále určíme znaménko . Je to racionální lomená funkce, kořen čitatele je trojnásobný, kořeny jmenovatele jsou jednoduché. Tedy

    2. Vypočteme první derivaci:

      Kořeny čitatele jsou (dvojnásobný) a (jednoduché). V nich jsou stacionární body. Dále určíme znaménko :

      Tedy v bodě je lokální maximum a v bodě je lokální minimum.
    3. Vypočteme druhou derivaci:

      Čitatel má jednoduchý kořen , v němž může být inflexe (komplexní kořeny nás nezajímají). Dále určíme znaménko . Nesmíme zapomenout, že kořeny ve jmenovateli jsou trojnásobné. Dostaneme:

      V bodě má funkce inflexi.
    4. Nyní máme najít asymptoty bez směrnice a se směrnicí. Protože funkce je spojitá na svém definičním oboru, asymptoty bez směrnice mohou být jen v bodech a . Vypočteme jednostranné limity:

      Asymptoty bez směrnice jsou a .
      Dále určíme asymptoty se směrnicí:

      Asymptota pro tedy existuje a má rovnici .
    5. Spočítáme funkční hodnoty ve významných bodech: , a

    6. Nakreslíme graf funkce — viz obr. 6.12.
    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.44.  Určete hodnotu reálného parametru tak, aby funkce

    měla v bodě extrém.
    Řešení.  Nejprve určíme první derivaci: . Odtud

    Má-li nastat v bodě extrém, musí být , a tedy . Ještě musíme ověřit, že extrém opravdu nastane. Při je a , takže je zde lokální maximum.
    Zobrazit / skrýt řešení
    Příklad 6.45.  Ze čtverce papíru o straně vystřihněte v rozích čtverce tak, aby krabice složená ze zbytku papíru měla co největší objem.

    Řešení.  Snadno nahlédneme, že vzniklá krabice bude kvádr se čtvercovou podstavou. Označme její rozměry — viz obr. 6.13. Objem krabice je pak dán vzorcem . Dále z obrázku snadno odhalíme závislost , odkud a tudíž platí

    Hledejme maximum funkce na intervalu . Funkce je spojitá a má derivaci, takže podle Weierstrassovy věty existuje absolutní maximum a je buď ve vnitřním stacionárním bodě, nebo v krajních bodech. Vyjádříme první derivaci

    odkud právě tehdy, když nebo . Lehce zjistíme, že v bodě nabývá funkce globálního maxima (v krajních bodech je , takže jsou to absolutní minima). Hledané rozměry jsou tedy

    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.46.  Do půlkruhu o poloměru vepište obdélník největšího obsahu.

    Řešení.  Označme si strany obdélníku . Z obrázku 6.14 vidíme, že podle Pythagorovy věty platí:

    odkud

    jelikož uvažujeme pouze . Pro obsah obdélníku platí , a tedy v našem konkrétním případě

    Vyjádřili jsme obsah vepsaného obdélníku jakožto funkci jedné proměnné . Budeme hledat extrémy této funkce na intervalu . Podle Weierstrassovy věty absolutní extrémy existují. Vyjádřeme nejprve první derivaci:

    Nyní

    Funkce je v krajních bodech intervalu nulová, na celém intervalu je nezáporná (obsah obdélníku nemůže být záporné číslo) a tedy je zřejmé, že v bodě nabývá svého maxima ( a dávají minimum). Odtud již snadno určíme hledaný maximální obsah vepsaného obdélníku:

    Zobrazit / skrýt řešení

    Příklad 6.47.  Do elipsy s hlavní poloosou a vedlejší poloosou vepište obdélník se stranami rovnoběžnými s poloosami tak, aby obsah obdélníku byl maximální.

    Řešení.  Rovnice elipsy se středem v bodě má tvar . Označme si vrcholy obdélníku dle obrázku 6.15. Bod má souřadnice , kde , . Ze symetrie je jasné, že obsah obdélníku určíme jako . Jelikož bod leží na elipse, určíme jeho -ovou souřadnici z rovnice elipsy:

    jelikož uvažujeme . Nyní již můžeme vyjádřit obsah vepsaného obdélníku jako funkci jedné proměnné:

    Hledejme nyní absolutní maximum funkce na intervalu . To podle Weierstrassovy věty existuje. Stacionární bod určíme z rovnice

    odkud

    jelikož opět uvažujeme pouze . Je zřejmé, že v krajních bodech intervalu je funkce nulová (vytvořený obrazec je úsečka), je proto na celém intervalu nezáporná, a tedy je zřejmé, že v bodě nabývá svého absolutního maxima. Nyní již snadno určíme hledaný maximální obsah:

    Zobrazit / skrýt řešení
    Příklad 6.48.  Do koule o poloměru vepište válec s největším obsahem.

    Řešení.  Při řešení těchto „prostorových” úloh je vždy základem úspěchu nakreslit si vhodný obrázek. Na našem obrázku 6.16 vidíme středový řez danou koulí. Označme  poloměr základny a  výšku vepsaného válce. Podle Pythagorovy věty platí:

    odkud

    jelikož uvažujeme pouze nezápornou výšku.
    Nyní můžeme vyjádřit objem vepsaného válce jakožto funkci jedné proměnné :

    Budeme hledat absolutní extrém této funkce na intervalu . Podle Weierstrassovy věty existuje. Nejprve vyjádříme první derivaci:

    tedy

    V krajních bodech je , takže jde o absolutní minima. Absolutní maximum je v bodě . Nyní již snadno dokončíme výpočet:

    takže

    Zobrazit / skrýt řešení
    Příklad 6.49.  Do koule o poloměru vepište kužel s největším objemem.

    Řešení.  Nakresleme si středový řez koulí a označme výšku kuželu a poloměr základny. Situace vypadá následovně.
    V prvním případě (pro — viz obr. 6.17a)) platí dle Pythagorovy věty

    v druhém případě (pro — viz obr. 6.17b))

    V obou případech získáváme

    Nyní již můžeme vyjádřit objem vepsaného kužele pouze v závislosti na :

    Hledejme absolutní maximum funkce na intervalu . Podle Weierstrassovy věty existuje.
    Vyjádříme si první derivaci:

    odkud

    V krajních bodech je , tedy jde o globální minima. Globální maximum je v bodě . Ještě určíme hledaný objem:

    Zobrazit / skrýt řešení