Předchozí kapitola Zpět na obsah  

Kapitola 5

Derivace funkce

Derivace funkce patří spolu s pojmy limita a spojitost funkce k základním pojmům diferenciálního počtu. Nejprve si ukážeme historickou motivaci pro zavedení tohoto pojmu. Poté dokážeme věty o derivaci, odvodíme derivace elementárních funkcí a uvedeme věty o střední hodnotě popisující vlastnosti funkce pomocí její derivace na intervalu. Ukážeme, jak lze počítat limity podílu dvou funkcí pomocí derivací – tzv. l'Hopitalovo pravidlo.

5.1. Derivace a její geometrický význam

K pojmu derivace funkce vede celá řada geometrických a fyzikálních úloh. Jedna z nejstarších (tzv. základní úloha diferenciálního počtu) je nalézt tečnu ke grafu známé funkce . Sečna grafu je přímka určená bodem a dalším libovolným bodem grafu . Tečnou s bodem dotyku  rozumíme limitní polohu zmíněné sečny, kdy se bod blíží k bodu – viz obr. 5.1. Ukažme, jaká je směrnice této tečny.
Připomeňme, že přímka procházející body a , , má směrnici

kde je úhel, který svírá přímka s kladným směrem osy . Tato přímka je potom dána rovnicí

Proto směrnice uvažované sečny je

a směrnice tečny

To ukazuje, že je účelné vyšetřovat takové limity (pro spojité funkce jsou typu ).
Definice 5.1.  Buď funkce a bod . Existuje-li

nazýváme tuto limitu derivací funkce v bodě a značíme .
Je-li limita (2) vlastní, nazývá se číslo vlastní derivací funkce  v bodě ,
je-li limita (2) nevlastní, nazývá se nevlastní derivací funkce  v bodě .

Derivaci značíme též (důvodem je souvislost s diferenciálem, viz kapitola 7) nebo .
Podobně definujeme jednostranné derivace

Poznámka 5.2.  Bezprostředně z definice derivace plynou tyto důležité vlastnosti derivace funkce:
  1. Má-li funkce derivaci v bodě , je definovaná v jistém okolí tohoto bodu.
  2. Libovolná funkce má v libovolném bodě nejvýše jednu derivaci.
  3. Derivace je lokální vlastnost, popisuje růst/pokles funkce v okolí daného bodu. Například, jestliže existuje okolí tak, že na , pak platí právě tehdy, když .
  4. Položíme-li v (2), lze definici derivace psát ve tvaru

  5. Funkce má v derivaci právě tehdy, když má v obě jednostranné derivace a ty jsou si rovny, tj. .
Geometrický význam derivace. Ze způsobu, jakým jsme zavedli pojem derivace, plyne, že funkce má v bodě vlastní derivaci právě tehdy, když má graf v bodě tečnu se směrnicí . Dosadíme-li do (1), dostáváme rovnici této tečny v bodě

Pro směrnice , dvou navzájem kolmých přímek platí . Proto rovnice normály, tj. přímky kolmé k tečně a procházející dotykovým bodem, je

Má-li funkce v daném bodě nevlastní derivaci, tj. , a je-li v tomto bodě spojitá (viz poznámka 5.8, iii), pak je tečna ke grafu funkce v bodě rovnoběžná s osou . Proto rovnice tečny a normály tehdy jsou

Příklad 5.3.  Z definice odvoďte derivaci funkce , , v libovolném bodě .
Řešení.  Počítáme limitu

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 5.4.  Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkce procházejících bodem .
Řešení.  Platí , takže půjde o bod dotyku. Rovnice tečny má tvar . Podle příkladu 5.3 je , po dosazení . Odtud dostáváme rovnici tečny a normály .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 5.5.  Rozhodněte, zda má funkce v bodě derivaci.
Řešení.  Určíme jednostranné derivace:

Protože jsou tyto derivace navzájem různé, funkce nemá derivaci v bodě — viz. obr. 1.3a. Takový bod, v němž „polotečny” existují, ale jejich směrové vektory jsou nekolineární, se nazývá úhlový bod.
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 5.6.  Z definice derivace vypočtěte derivace funkcí a v bodě .
Řešení. 
  1. Pro derivaci funkce v bodě dostáváme dosazením do (2)

    tj. daná funkce má nevlastní derivaci . Její tečnou je osa , tj. přímka .
  2. Ukážeme, že derivace funkce v bodě neexistuje. Nejprve vypočteme jednostranné derivace

    Odtud plyne, že funkce nemá derivaci v bodě . Přitom funkce je spojitá, takže má „polotečny”, které splývají s kladnou poloosou . Bod, ve kterém nastane obdobná situace, se nazývá bod vratu.
Zobrazit / skrýt řešení
Fyzikální význam derivace. Předpokládejme, že v časovém intervalu se po přímce pohybuje zleva doprava hmotný bod, jehož poloha v čase  je určena souřadnicí bodu dané přímky. Průměrná rychlost v daném časovém intervalu je

Okamžitou rychlost v nějakém čase zjistíme tak, že budeme „zmenšovat” velikost časového intervalu, tj. budeme se „blížit k bodu ”. Vyjádřeno matematicky pomocí limity

Vidíme, že fyzikální význam derivace je v tomto případě okamžitá rychlost hmotného bodu. Podobně obecněji, jestliže je fyzikální skalární veličina závisející na čase, charakterizuje okamžitou velikost její změny v čase .

5.2. Věty o derivaci

V tomto odstavci uvedeme věty o derivaci funkce v daném bodě. Vztah mezi derivací a spojitostí funkce popisuje následující věta.
Věta 5.7.  Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá.
Důkaz.  Předpokládejme, že existuje . Podle definice spojitosti máme dokázat, že . Platí

Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 5.8. 
  1. Analogické tvrzení platí pro jednostranné derivace a jednostranné spojitosti.
  2. Obráceně věta neplatí: funkce může být spojitá, ale nemusí mít derivaci!
    Například funkce je spojitá v bodě , neboť a , ale nemá v bodě derivaci — viz příklad 5.5.
  3. Předpoklad, že má funkce vlastní derivaci, je ve větě 5.7 důležitý. Z existence nevlastní derivace neplyne spojitost funkce v daném bodě. Splňuje-li funkce  podmínku může (ale nemusí) být v bodě  spojitá. Uvedeme dva příklady. Funkce má jednostranné derivace v bodě :

    Proto existuje derivace a je rovna . Přitom funkce není v bodě  spojitá — viz obr. 1.3c. Naopak funkce má v bodě nevlastní derivaci — viz příklad 5.6 — a přitom je v bodě spojitá.
Věta 5.9.  Nechť mají funkce v bodě vlastní derivaci. Pak platí:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. Je-li , pak  .
Důkaz.  Vyjdeme z definice derivace:
  1. Platí

  2. Podobně

  3. Dále

  4. Funkce má v derivaci, je tudíž v spojitá, , proto existuje okolí takové, že
    pro všechna . Podle definice derivace je

Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 5.10. 
  1. Má-li funkce pro všechna vlastní derivaci , pak je funkce definovaná na . Z předchozí věty plyne: Mají-li funkce na množině derivaci, pak na platí , , a pokud , .
  2. Předchozí větu lze indukcí rozšířit pro funkcí:

Například pro všechna .
Před důkazem vět o derivaci složené a inverzní funkce uvedeme následující ekvivalentní definici vlastní derivace, která nám umožní tyto věty elegantně dokázat.
Lemma 5.11. (Carathéodory) Funkce má v bodě  vlastní derivaci právě tehdy, když existuje funkce definovaná na nějakém okolí , která je spojitá v bodě  a taková, že pro každé platí

Existuje-li taková funkce , pak platí .
Důkaz.  Nechť existuje vlastní . Pro musí mít hledaná funkce vzhledem k (3) tvar . Pro položíme . Pak

tedy funkce má požadované vlastnosti. Naopak, pokud existuje taková funkce, vyjádříme ji z (3) a vypočteme týmž postupem její limitu v bodě . Ta podle předpokladu existuje, takže existuje i a je rovna .
Zobrazit / skrýt důkaz
Věta 5.12.  Nechť funkce má vlastní derivaci v bodě a nechť funkce má vlastní derivaci v bodě . Pak složená funkce má vlastní derivaci v bodě a platí:

Důkaz.  Podle lemmatu 5.11 existují funkce a takové, že

kde a jsou vhodná okolí. Funkce  je spojitá v bodě  a funkce  je spojitá v bodě . Podle věty 5.7 je funkce spojitá v bodě  a funkce je spojitá v bodě . Lze tedy předpokládat (po případném zmenšení okolí ), že pro je . Pak

pro . Položme . Z vět 4.21 a 4.23 plyne, že je spojitá v bodě . Přitom . Podle lemmatu 5.11 existuje tudíž a je rovna .
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 5.13.  Předchozí větu lze opět rozšířit i pro vícenásobně složené funkce. Např. pro čtyřnásobně složenou funkci je:

Věta 5.14.  Nechť funkce je spojitá a ryze monotonní na intervalu . Nechť je vnitřní bod intervalu a nechť má v derivaci . Pak má inverzní funkce v bodě rovněž derivaci.
  1. Je-li , je derivace inverzní funkce vlastní a platí

  2. Je-li , je derivace inverzní funkce nevlastní, přičemž pro rostoucí a pro klesající.
Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné derivace.
Důkaz.  Podle lemmatu 5.11 existuje funkce spojitá v bodě  tak, že v jistém okolí platí

Podle poznámky 4.37 je inverzní funkce definovaná opět na intervalu a podle věty 4.40 je spojitá a ryze monotonní. Tedy je vnitřní bod intervalu a existuje okolí tak, že pro je . Dosadíme-li do (4), dostaneme

Protože je ryze monotonní, je z (4) vidět, že pro je . Proto pro podle (5) platí

Předpokládejme nejprve, že . Označme , a položme . Z vět 4.21 a 4.23 plyne, že funkce  je spojitá v bodě  a z (6) dostaneme

Podle lemmatu 5.11 má tedy derivaci v bodě  a platí .
Nechť nyní a je např. rostoucí. Pak pro je podle (5) a podle věty 4.23 je . Vzhledem k poznámce 4.14 dostaneme z (6)

Zobrazit / skrýt důkaz

Tvrzení předchozí věty má názorný geometrický význam. Na obr. 5.3 platí pro , že a . Protože , platí

Pochopitelně tento obrázek nemůže nahradit výše uvedený korektní důkaz.
Protože podle poznámky 5.10 lze vlastní derivaci funkce chápat jako funkci, můžeme definovat její derivaci v nějakém bodě ; tu pak nazýváme druhou derivací funkce  v bodě  a značíme . Rovněž vlastní druhou derivaci lze chápat jako funkci  na množině . Ta může mít opět derivaci v některém bodě atd.

Obecně definujeme:

Definice 5.15.  Druhou derivací funkce rozumíme funkci a pro libovolné definujeme -tou derivaci (derivaci -tého řádu) funkce vztahem .
Příklad 5.16.  Vypočtěte -tou derivaci funkce , .
Řešení.  Podle příkladu 5.3 je pro každé

Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 5.17.  Vypočtěte derivace všech řádů polynomu .
Řešení.  Pro každé platí

Odtud (nulový polynom) pro libovolné . Všimněte si, že obdobnou vlastnost má každý polynom. Je-li , pak je nulový polynom pro každé .
Zobrazit / skrýt řešení

5.3. Derivace elementárních funkcí

Věta 5.18.  Pro derivace elementárních funkcí platí:

Tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušné funkce definovány.
Důkaz.  První vzorec plyne bezprostředně z definice derivace.
  1. Goniometrické funkce. Z definice derivace s použitím příkladu 4.25 platí

    Protože , plyne z věty o derivaci složené funkce . Derivaci funkce pak dostaneme z derivace podílu a derivaci funkce z derivace podílu .
  2. Cyklometrické funkce. Podle věty o derivaci inverzní funkce 5.14 platí

    kde . Proto a  . Podle příkladu 3.19 platí  . Podobně

    a odtud již  .
  3. Exponenciální funkce. Opět vyjdeme z definice derivace. Pro funkci dostáváme

    Poznamenejme, že jsme v posledním kroku využili znalost limity z příkladu 4.26. Pro derivaci funkce použijeme větu o složené funkci a dostáváme .
  4. Logaritmická funkce. Použijeme větu o derivaci inverzní funkce, podle které

    Odtud pak

  5. Mocninná funkce. Podle definice mocninné funkce a věty o derivaci složené funkce dostáváme

Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 5.19.  Vypočtěte derivace následujících funkcí:

Řešení.  Vzhledem k předchozí větě platí:
  1. ,     ,
  2.  ,    ,
  3. ,    ,
  4.  ,    ,
  5.  ,    ,
  6.  ,    .
Zobrazit / skrýt řešení
Poznámka 5.20.  Stejným způsobem, jako jsme odvodili derivaci obecné mocniny, derivujeme funkci (tzv. „funkce na funkci”), kde . Úpravou na exponenciální funkci dostáváme

Příklad 5.21.  Derivujte funkce a , .
Řešení.  Upravíme na složenou exponenciální funkci a derivujeme jako exponenciální funkci:

a podobně

Zobrazit / skrýt řešení

5.4. Věty o střední hodnotě

Úvodem dokážeme jedno pomocné tvrzení.
Lemma 5.22.  Nechť . Pak funkce je rostoucí v bodě . Analogicky, je-li , je funkce klesající v bodě .
Důkaz.  Platí . Podle věty 4.10 existuje okolí takové, že pro všechna platí . Podobně druhé tvrzení.
Zobrazit / skrýt důkaz
Všimněte si, že opačné tvrzení neplatí: Je-li funkce je rostoucí v , nemusí být . Například funkce je rostoucí v , ale .

Následující tři věty se obvykle nazývají věty o střední hodnotě. Připomeňme (definice 4.32), že značí množinu všech funkcí spojitých na intervalu .
Věta 5.23. (Rolleova věta) Nechť funkce má v každém bodě intervalu vlastní nebo nevlastní derivaci a nechť . Pak existuje tak, že .
Důkaz.  Je-li na intervalu konstantní, je tvrzení zřejmé. Nechť tedy existuje tak, že . Nechť např. (pro analogicky). Podle Weierstrassovy věty existuje , v němž funkce nabývá své největší hodnoty . Protože , je . Ukážeme, že . Kdyby bylo , pak by podle předcházejícího lemmatu 5.22 existovalo tak, že pro , by platilo , což je spor. Analogicky se ukáže, že nemůže být .
Zobrazit / skrýt důkaz
Věta 5.24. (Cauchyova věta) Nechť a nechť v každém bodě existují vlastní derivace . Pak existuje tak, že platí

Důkaz.  Položme . Tato funkce je spojitá na , má derivaci na a platí , tj. splňuje předpoklady Rolleovy věty. Existuje tedy , pro které . Přitom platí , odkud již tvrzení přímo plyne.
Zobrazit / skrýt důkaz
Věta 5.25. (Lagrangeova věta) Nechť a nechť v každém bodě existuje vlastní nebo nevlastní derivace . Pak existuje , pro které platí

Důkaz.  Postupuje se analogicky jako v předcházející větě, kde se volí .
Zobrazit / skrýt důkaz

Geometrický význam. Označme body roviny , . Je-li , Rolleova věta zaručuje (za dalších předpokladů), že existuje alespoň jeden vnitřní bod , v němž je derivace nulová, tj. tečna ke grafu funkce  v bodě je rovnoběžná s osou . Na obr. 5.4a jsou takové body dva — a .
Lagrangeova věta, která ji zobecňuje, pak říká, že existuje alespoň jeden vnitřní bod  takový, že tečna v bodě je rovnoběžná s úsečkou — viz obr. 5.4b.
I Cauchyovu větu lze znázornit obdobně na křivce dané parametricky,
Poznámka 5.26. 
  1. Ukažme fyzikální interpretaci Lagrangeovy věty. Vyjadřuje-li souřadnici v čase  bodu pohybujícího se po přímce, je podíl průměrná (střední) rychlost v časovém intervalu a je okamžitá rychlost v čase . Lagrangeova věta říká, že v intervalu existuje čas , ve kterém je okamžitá rychlost rovna průměrné rychlosti na celém intervalu.
  2. Díky Lagrangeově větě umíme odhadnout přírůstek funkce , jestliže dokážeme odhadnout v intervalu . Například

    a podobně

    protože pro všechna .
Z Lagrangeovy věty vyplývá následující důležité tvrzení.
Důsledek 5.27.  Nechť funkce mají vlastní derivace v každém bodě otevřeného intervalu . Jestliže pro všechna platí , pak se funkce liší o konstantu, tj. existuje takové, že . Zejména jestliže na , je na  konstantní.
Důkaz.  Mějme funkci a body , . Pak podle Lagrangeovy věty existuje takové, že . Přitom . Proto , tj. na , a tedy .
Zobrazit / skrýt důkaz
Tvrzení z důsledku 5.27 platí pro libovolný, ne jen otevřený interval, pokud předpokládáme spojitost a v krajních bodech. V předchozím důsledku je podstatné, že je interval. Např. pro funkci , platí na , ale tato funkce není na  konstantní.
Příklad 5.28.  Určete, pro která lze funkci rozšířit na interval tak, aby výsledná funkce
a) byla spojitá na , b) měla vlastní derivaci na .
Řešení.  Funkce je zřejmě spojitá na otevřeném intervalu a má zde vlastní derivaci. Problémový je tedy bod .
  1. Počítejme limitu zprava:

    Protože je funkce omezená na , ale její limita pro neexistuje a podle příkladu 4.49 b), je

    Funkci lze spojitě rozšířit na pouze pro .
  2. Počítejme z definice derivaci zprava v bodě . Je

    Tato limita existuje pro (a je rovna ), tudíž požadované rozšíření lze provést pouze pro . Přitom bude .
Zobrazit / skrýt řešení

5.5. L'Hospitalovo pravidlo

Věta 5.29.  Buď . Nechť je splněna jedna z podmínek
  1. ,
  2. .
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní)  , pak existuje také a platí

Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné limity.
Důkaz.  Dokážeme tvrzení např. pro limitu zprava. Důkaz pro limitu zleva je obdobný a jejich spojením se vzhledem k větě 4.9 dostane oboustranný případ.
Označme . Nechť . Z předpokladů věty vyplývá existence čísla takového, že na intervalu jsou funkce a definované, jsou zde spojité a mají zde vlastní derivaci, přičemž . Navíc pro , , je . (Jinak by podle Rolleovy věty existovalo tak, že , což není možné.)
Navíc je možné předpokládat, že i na intervalu , kde totiž může existovat nejvýše jedno , v němž . Stačí tedy případně zmenšit .
Nechť nejprve . Zvolme tak, aby . Z předpokladu o existenci limity pro dostáváme, že existuje tak, že na intervalu platí

Pro libovolná taková, že , existuje podle Cauchyovy věty o střední hodnotě číslo takové, že

Nechť je splněna podmínka (i). Pak je a obdobně je . Limitním přechodem v \eqref{rLH1} dostaneme (viz věta 4.10, 2), že pro libovolné je .
Nechť je splněna podmínka (ii). Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že např. . (Ze spojitosti  a faktu, že plyne, že v jistém pravém okolí bodu  je funkce  pořád kladná nebo pořád záporná.) Zvolíme pevně a najdeme tak, aby platilo a pro . Nyní vynásobíme část nerovnosti \eqref{rLH1} (v níž je zaměněno a )

výrazem a dostaneme

Odtud obdržíme

Nyní je s ohledem na podmínku (ii) možné najít tak, že na intervalu platí

Spojením předchozích dvou nerovností opět dostáváme, že pro .
V obou případech jsme dokázali, že v jistém pravém okolí bodu  platí nerovnost , kde bylo libovolné číslo vyhovující nerovnosti .
Analogicky se dokáže, že v případě platí v jistém pravém okolí bodu  nerovnost , kde je libovolné číslo vyhovující nerovnosti .
Nyní již důkaz snadno dokončíme. Je-li , vidíme přímo z definice nevlastní limity, že pro . Případ je obdobný.
Konečně je-li , zvolíme libovolné . V předchozích úvahách pak za  volíme resp. . V jistém pravém okolí bodu  tedy platí nerovnost , což znamená, že pro .
Zobrazit / skrýt důkaz
Poznámka 5.30. 
  1. L'Hospitalovo pravidlo je velmi silným prostředkem k výpočtu limit, nikoliv však univerzálním — nemusí existovat, což však neznamená, že neexistuje  . Příkladem je

    L'Hospitalovo pravidlo nelze použít, protože neexistuje. Proto počítejme danou limitu jiným způsobem:

    neboť .
  2. L'Hopitalovo pravidlo nemůžeme použít pro případ limity . Je důležité, aby limita čitatele i jmenovatele byla . Příklad:

    podle poznámky 4.14. Použitím l'Hospitalova pravidla bychom dostali

    což je jiná hodnota než očekávaná.
Příklad 5.31.  Vypočtěte následující limity:

Řešení. 
  1. Limitu vypočítáme pomocí l'Hospitalova pravidla:

  2. Použijeme l'Hospitalovo pravidlo a vhodné úpravy:

  3. Pro l'Hospitalovo pravidlo je typické vícenásobné použití. Dostaneme-li po derivování opět limitu z podílu a jsou-li splněny předpoklady pro použití l'Hospitalova pravidla, zderivujeme znovu čitatele a jmenovatele. Pokud vzniklá limita existuje, existuje i předchozí limita, a tudíž i zadaná limita a všechny tři jsou si rovny. Tento postup je možné opakovat vícekrát. V našem případě je:

  4. Často vede k cíli, když po použití l'Hospitalova pravidla vhodně upravíme funkci na součin a počítáme limity jednotlivých činitelů. V našem případě je:

Zobrazit / skrýt řešení
Neurčité výrazy. Neurčitými výrazy rozumíme limitu součtu, součinu, rozdílu a podílu funkcí, v nichž limity jednotlivých funkcí existují, ale příslušné operace s nimi nejsou definovány. Jde o tyto případy:

První dva případy limit lze řešit pomocí l'Hopitalova pravidla, další případy je možné převést na první dva následovně.
  1. Limita typu „”, tj. . Pak

    což je typ „”.
  2. Limita typu „”, tj. , . Pak

    což je typ „”.
  3. Limity typu „, , ”. Řešíme úpravou na exponenciální funkci:

    V poslední upravě jsme použili větu o limitě složené funkce 4.22, neboť funkce je spojitá. Pokud je limita v exponentu nevlastní, je třeba použít větu 4.16. Přitom limita v exponentu je již typu „”.
Příklad 5.32.  Vypočtěte následující limity:

Řešení.  Upravíme tak, abychom mohli použít l'Hopitalovo pravidlo.
  1. Součin převedeme na podíl:

  2. Rozdíl převedeme na podíl:

  3. Vyjádříme pomocí exponenciály:

    Počítejme zvlášť — součin převedeme na podíl:

    Původní limita je tedy .
Zobrazit / skrýt řešení
L'Hospitalovo pravidlo lze využít i k výpočtu limit některých posloupností, nejčastěji díky následujícímu tvrzení.
Věta 5.33.  Buď posloupnost a libovolná funkce taková, že pro každé . Existuje-li , pak existuje .
Důkaz.  Plyne snadno z definice limity v nevlastním bodě a limity posloupnosti. Je rovněž speciálním případem tvrzení z věty D.15 dodatku.
Zobrazit / skrýt důkaz
Příklad 5.34.  Pomocí předchozí věty určete .
Řešení.  Označme , , tj. pro . Platí

Pro výpočet limity v exponentu použijeme l'Hospitalovo pravidlo:

Proto .
Zobrazit / skrýt řešení

5.6. Řešené příklady na derivaci a limitu

Příklad 5.35.  Vypočtěte následující derivace

Řešení.  a) Budeme derivovat podle věty o derivaci podílu . Platí

pro , kde .

b) Opět použijeme větu o derivaci podílu a upravíme. Dostáváme

pro všechna , pro která . c) Použijeme větu o derivaci složené funkce a větu o derivaci podílu. Je

pro , kde .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 5.36.  Vypočtěte derivaci

Řešení.  a) K výpočtu použijeme větu 5.9. Nejprve vypočteme derivaci

Výsledná derivace je rovna

b) Použijeme větu o derivaci součinu funkcí . V našem případě bude , , . Dostáváme

Zobrazit / skrýt řešení
Následující příklady počítejte pomocí l'Hospitalova pravidla. Nezapomeňte vždy ověřit, zda jsou splněny předpoklady pro jeho použití (typ „”, „”).
Příklad 5.37.  Vypočítejte limity

Řešení.  a) Při určení této limity budeme kombinovat l'Hospitalovo pravidlo s klasickými úpravami při výpočtech limit.

Funkce je spojitá funkce, proto počítejme limitu exponentu. Využijme znalosti limit , . Dostáváme

Nyní použijeme l'Hospitalovo pravidlo (limita je typu ):

Výsledná limita je .

b) Jde o neurčitý výraz exponenciálního typu. Proto nejprve provedeme úpravu

Protože je funkce spojitá, lze přejít limitou do exponentu. Pro výpočet limity exponentu zavedeme substituci a využijeme znalosti . Dostáváme

Výsledná limita je .
Zobrazit / skrýt řešení
Příklad 5.38.  Vypočítejte limity

Řešení.  a) Použijeme l'Hopitalovo pravidlo

b) Opět nejprve upravíme pomocí znalosti a poté použijeme l'Hospitalovo pravidlo (typ ).

Zobrazit / skrýt řešení
Předchozí kapitola Zpět na obsah