Úkol 10

1. $f(x,y)=\frac{\ln (1+x^4+y^4)}{\sqrt{x^2+y^2}}$, určete všechny parciální derivace 2. řádu.
2. Nechť je funkce $y(x)$ definována implicitně rovnicí $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$. Určete $y^{\prime }$ a $y^{″}$.
3. Určete $\int \sqrt{{\text{e}}^x-1}\mathrm{d}x$. Výsledek ověřte derivováním.
4. $${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$$
5. $$\sum _1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^4}$$
6. $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\ln (x)}{{\text{e}}^x}$$
7. Namalujte obrázek ($x\in ⟨-\pi ,\pi ⟩$), na kterém bude funkce $\sin x$ a její Maclaurinovy polynomy $T_n$ pro $n=1,3,5$.